Học tại nhà - Sinh - Thư viện bài tập

$\frac{x-29}{1970} +\frac{x-27}{1972}+ \frac{x-25}{1974}+ \frac{x-23}{1976}+ \frac{x-21}{1978} +\frac{x-19}{1980} = \frac{x-1970}{29} + \frac{x-1972}{27} +$

$\frac{x-1974}{25} + \frac{x-1976}{23} + \frac{x-1978}{21} + \frac{x-1980}{19}$

Bài 2. Giải phương trình

$\sqrt{ 3x+1}- \sqrt{ 6-x}+ 3 x^{2} -14x-8=0(*) (x \in R)$

Bài 3. Ba ông Xuân, Hạ, Thu cùng ba bà Cúc, Huệ, Lan là vợ của các ông, nhưng không biết họ là ba cặp vợ chồng nào. Chỉ biết rằng sau khi vào một siêu thị mua hàng hóa thì mỗi người mua

$a$ đồ vật thì phải trả

$a^{2}$ nghìn đồng. Ngoài ra ông Xuân mua nhiều hơn bà Huệ 9 đồ vật, ông Hạ mua nhiều hơn bà Cúc 7 đồ vật.
Hỏi đó là ba 3 cặp nào?

Bài 4. Giải các phương trình sau:
1.

$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=1$
2.

$\sqrt{y+1}-\sqrt{y-1}=1$

Bài 1. Giải và biện luận hệ phương trình sau:

$\begin{cases}ax+y=a^{2} \\ x+ay=1 \end{cases}$

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)

$\left ( \frac{x+2}{x+1} \right )^{2}+\left ( \frac{x-2}{x-1} \right )^{2}-\frac{5}{2}.\frac{x^{2}-4}{x^{2}-1}=0$
2)

$\frac{1}{y^{3} -y^{2}+y-1}$ -

$\frac{4}{y+1}=\frac{y^{2}+10y}{y^{4}-1}-\frac{4y^{2}+21}{y^{3} +y^{2}+y+1}$

Bài 3. Tìm các giá trị của m và p để hệ

$\begin{cases}z=7-t \\ mz-2t=p \end{cases}$
có một nghiệm, có vô số nghiệm, vô nghiệm

Bài 4. Giải hệ:

$\begin{cases}x\sqrt{1-y^2}.\sqrt{1-z^2}=x-yz \\ y\sqrt{1-z^2}.\sqrt{1-x^2}=y-zx\\ z\sqrt{1-x^2}.\sqrt{1-y^2}=z-xy \end{cases}$

Bài 1. Giải bất phương trình sau:
1.

$\frac{x^2+4x-4}{2x^2-x-1}>0$
2.

$(y^2-3y+2)(y^3-3y^2)(4-y^2)\leq 0$

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
1.

$\frac{1}{x}\leq 1$
2.

$\frac{y}{y-5}>\frac{1}{2}$

Bài 3. Chứng minh rằng bất phương trình :

$v^8-v^5+v^2-v+1>0$ luôn đúng với mọi

$v$

Bài 4. Giải bất phương trình:

$\frac{1}{2}\frac{(2x)!}{(2x-2)!}-\frac{x!}{(x-2)!}\leq \frac{6}{x}\frac{x!}{(x-3)!3!}+10\,\,\,\,\,(1)$ .

Bài 1. a) Cho

$x,y >0$ và

$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{1}{2}$ . Tìm GTNN :

$B=x^{2}y+x y^{2}$
b) Cho

$|x|+|y|+|z|=6$ Tìm GTNN :

$C=|x-1|+|y-1|+|z-1|$

Bài 2. Chứng minh bất dẳng thức:
a)

$\sin ^{4}x+\cos ^{8}x\leq 1 b) \sin^{10}x+\cos^{11}x \leq \ 1$
c)

$(1+x)^{n}+(1-x)^{n} \leq 2^{n}; (|x|\leq 1), n \geq 1$

Bài 3. Dùng so sánh, tìm:
a)GTNN

$y=x^{4}+4 x^{2}+2$
b)GTLN

$y=\ sin ^{4}x+\cos ^{4}x$
c)GTNN

$y=|\ sinx |+|\cos x|$
d)GTNN

$y=\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}-2x+10 }$

Bài 4. Dùng bất đẳng thức Cô-si, tìm GTNN:
a)

$y=x+\frac{3}{x}; (x>0)$ b) GTNN

$y=x+\frac{2}{x-3}; (x>3)$
c)

$y=5^{x+1}+5^{x-2}$ d)

$y=\frac{2 x^{2}+3x+7 }{x} . (x>0)$

Bài 1. Chứng minh rằng nếu tam giác

$ABC$ thỏa mãn điều kiện:
a)

$\sin A= \frac{\sin B+ \sin C}{\cos B +\cos C}$ thì

$\Delta ABC$ vuông ở

$A$ .
b)

$\sin \frac{A}{2} \cos^3 \frac{B}{2}= \sin \frac{B}{2} \cos^3 \frac{A}{2}$ thì

$\Delta ABC$ cân đỉnh

$C$ .
c)

$\sin A. \sin B. \sin C =\frac{3\sqrt{3} }{8}$ thì

$\Delta ABC$ đều.

Bài 2. Giải và biện luận phương trình

$\sin x=m$

Bài 3. Biến đổi thành một tích:
1.

$S=\cot^22a-\tan^22a-8\cos4a\cos4a$
2.

$J=\cos b+\sin 2b-\sin 3b$

Bài 4. Độ dài các cạnh của một tam giác lập thành một cấp số cộng. Diện tích của nó bằng

$\frac{3}{5}$ diện tích của một tam giác đều có cùng chu vi. Tính tỉ lệ giữa các cạnh của tam giác đã cho

Bài 1. Đặt

$I_n=\int\limits x^ne^xdx (n\in N*)$
1. Chứng minh rằng

$I_n=x^ne^x-nI_{n-1}$
2. Tìm

$I_1; I_2; I_3$

Bài 2. Tính các tích phân sau:

$1. S=\int\limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(x+1)^2}$

$2. J=\int\limits_{1}^{4}\frac{1}{x^2(x+1)}dx$

Bài 3.

Tìm nguyên hàm của hàm số:

$f(x)=\frac{x^3}{(x^8-4)^2}$

Bài 4. Cho hàm số

$f$ liên tục trên

$[-a;a](a>0).$
a) Chứng minh rằng :

$\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx = \begin{cases}2 \int\limits_{0}^{a}f(x)dx, nếu f hàm số chẵn trên [-a;a] \\ 0 nếu f là hàm số lẻ trên [a;-a] \end{cases} .$
b) Tính

$I= \int\limits_{-2010}^{2010} [\ln (x+\sqrt{1+x^2})^2]dx.$

Bài 1. Cho tam giác

$ABC$ và đường tròn

$(V)$ . Tìm

$M$ thuộc

$(V)$ để tổng bình phương khoảng cách từ

$M$ đến

$3$ đỉnh tam giác bé nhất.

Bài 2. Cho đường tròn

$(O;R); CD$ là một đường kính của đường tròn. Trên đường thẳng

$CD$ lấy hai điểm

$A,B$ sao cho

$\overline{OA}.\overline{OB}=R^2$
Chứng minh:
a)

$P_{A/(O)}+P_{B/(O)}=AB^2$
b)

$\frac{1}{P_{A/(O)}} +\frac{1}{P_{B/(O)}} =-\frac{1}{R^2}$

Bài 3. Cho đường tròn

$(O),A,B$ là hai điểm trên

$(O),I$ là trung điểm của một cung AB. Hai dây

$IC,ID$ của

$(O)$ cắt

$AB$ lần lượt tại

$M$ và

$N$ . Chứng minh:
a)

$IA$ tiếp xúc với đường tròn

$(AMC), IB$ tiếp xúc với đường tròn

$(BND)$ .
b) Chứng minh tứ giác

$CMND$ nội tiếp đường tròn.

Bài 4.

$1.$ Cho hình thang cân

$ABCD$ có đáy là

$AD, BC$ ,

$\widehat {BAD} = {30^0}$ . Biết

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow {a} ,\overrightarrow {AD} =\overrightarrow {b} .$ Hãy biểu diễn các véctơ

$\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD},\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD}$ theo các véctơ

$\overrightarrow {a},\overrightarrow {b} .$

$2.$ Chứng minh rằng

$\forall \in (0;\frac{\pi}{2} )$ đều có

$cosx +sinx +tanx+cotx+\frac{1}{sinx }+\frac{1}{cosx } >6$

Bài 1. Cho hai mặt phẳng

$(P), (Q)$ vuông góc với nhau có giao tuyến là

$\Delta$ . Trên

$\Delta$ lấy hai điểm

$A,B$ sao cho

$AB=a$ . Trong mặt phẳng

$(P)$ lấy điểm

$C$ , trong

$(Q)$ lấy điểm

$D$ sao cho

$AC,BD$ cùng vuông góc với

$\Delta$ . Giả sử

$AC=BD=AB$ . Chứng minh rằng bốn điểm

$A,B,C,D$ nằm trên một mặt cầu và tìm bán kính của hình cầu ấy.

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều

$S.ABCD$ có tất cả các cạnh đáy và cạnh bên đều bằng

$a$ . Gọi

$A',B',C',D'$ lần lượt là trung điểm của

$SA,SB,SC,SD$ .
a) Chứng minh rằng các điểm

$A,B,C,D,A',B',C',D'$ cùng thuộc mặt cầu

$(S)$ .
b) Tìm bán kính mặt cầu

$(S)$ .

Bài 3. Cho hai mặt phẳng

$(P)$ và

$(Q)$ vuông góc với nhau, gọi

$d$ là giao tuyến của chúng. Cho

$2$ điểm

$A\in (Q), B\in (P)$ thỏa mãn khoảng cách từ

$B$ đến

$(Q)$ bằng khoảng cách từ

$A$ đến

$(P)$ . Chứng minh góc tạo bởi

$AB$ với mặt phẳng

$(P)$ và mặt phẳng

$(Q)$ bằng nhau.

Bài 4. Cho hình lập phương

$ABCDA'B'C'D'$ và

$R\in A'D', N\in BC, Q\in C'D'$ .
a) Tìm giao điểm

$I, K$ của đường thẳng

$RQ$ với mp

$(ABB'A')$ mp

$(BCC'B')$ .
b) Tìm giao điểm

$P, J$ của đường thẳng

$NK$ với mp

$(CDD'C')$ và mp

$(ABB'A')$
c) Tìm giao điểm

$S, M$ của đường thẳng

$IJ$ với mp

$(ADD'A')$ và mp

$(ACBD)$ .
d) Tìm giao tuyến của mp

$(NQR)$ với các mặt của hình lập phương .
e) Tìm thiết diện do mp

$(NQR)$ cắt hình lập phương.

Bài 1. Chứng minh rằng tích

$2$ phép đối xứng trục

$d$ và

$m$ mà

$d$ cắt

$m$ tại

$O$ là

$1$ phép quay tâm

$O$ .

Bài 2. Tìm điều kiện của tham số để các đường thẳng:
a)

$(3+n)x-5y+4=0$ và

$5x-(4-m)y-5=0$ trùng nhau
b)

$3x+2y-10=0; 7x-2y-10=0 ; 2mx+3y-7=0$ đồng quy

Bài 3. Lập phương trình đường thẳng đối xứng của:
a)

$d:4x-3y+6=0$ qua

$\Delta:27x-99y+28=0$
b)

$d:x-2y-5=0$ qua

$\Delta:3x+y+4=0$

Bài 4. Cho hai đường thẳng

$A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+C_2=0$ và một điểm

$I(x_0;y_0)$ không nằm trên chúng.
a) Tìm điều kiện để điểm

$M=(x;y)$ nằm trong góc tạo thành bởi hai đường thẳng đó, biết rằng góc ấy có chứa điểm

$I$ .
b) Viết phương trình đường thẳng chứa phân giác trong của góc nói trên.

Bài 1. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :

$(d): \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-2}{1} ; (P): 2x+2y+z-5=0$
1. Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (P) tại điểm A. Tìm tọa độ điểm A, tính góc giữa (d) và (P)
2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (P)

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình:

$(d): \begin{cases}x=1+2t \\ y=t\\z=1-t \end{cases} , t\in R; (P): x+y-z+2=0$
1. Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (P) tại điểm A. Tìm tọa độ điểm A, tính sin góc giữa (d) và (P)
2. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d) tại điểm E(1; 0; 1) và tiếp xúc với (P)

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng (d) biết:
1. (d) đi qua điểm M(1; -2; 3) và có vtcp

$\overrightarrow{u}(-4; 1; -3)$
2. (d) đi qua hai điểm A(3; -1; 2) và B(4; 1; 1)

Bài 4. Cho điểm A(2; -3; 4) và hai đường thẳng

$(\Delta_1)$ và

$(\Delta_2)$ có phương trình:

$(\Delta_1): \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{1} ; (\Delta_2): \frac{x-3}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}$
1. Tìm góc giữa hai đường thẳng đó
2. Viết phương trình đi qua điểm A và vuông góc với cả hai đường thẳng

$(\Delta_1) ; (\Delta_2)$

Bài 1. Gọi A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự hai số phức

$z_o, z_1$ khác 0 thỏa mãn đẳng thức

$z_o^2+z_1^2=z_oz_1$ . Chứng minh rằng tam giác OAB là tam giác đều (O là gốc tọa độ)

Bài 2.

Xác định m để hai số phức

$z_1=1+2i$ và

$z_2=m+i \sqrt{m^2+3m}$

1. Có mođun bằng nhau

2. Bằng nhau

Bài 3. Cho số phức

$Z$ có Môđun bằng

$1$ và

$\varphi$ là một acgumen của nó.
1) Tìm một acgumen của số phức

$\frac{\overline{Z}}{Z}$
2) Tìm một acgumen của số phức

$Z+\overline{Z}$ nếu

$\cos \varphi\neq 0$ .

Bài 4. Xét các số phức

$Z$ thoả mãn điều kiện

$|2Z-\sqrt{2}-i\sqrt{2}|=1 (1)$
1) Tìm tập hợp điểm

$M$ biểu diễn số phức

$Z$ thoả mãn điều kiện

$(1)$ .
2)Trong các số phức đã cho( TM điều kiện

$(1)$ ) tìm số phức có acgumen dương và nhỏ nhất.

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số:
a)

$y=(2-x)^{-3}$
b)

$y=(x^2-4 )^{\sqrt{2}}$
c)

$y=(x^2-5x+6)^{\frac{4}{5}}$
d)

$y=(3x^2-2x-1)^{-4}$

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số:

$\begin{array}{l} 1)y = \log _2\sqrt {\frac{x - 3}{x + 1}} \\ 2)y = \sqrt {\log_{\frac{1}{2}}\frac{x - 1}{x + 5}} - {\log _2}\sqrt {x^2 - x - 6} \\ 3)y = {\log _3}\frac{x^2 + 4x + 3}{x - 2} \end{array}$

Bài 3. Cho hàm số :

$y = \frac{\sqrt {mx - m + 1}}{\log \left[ {(m - 1)x - m + 3} \right]}$

$1$ ) Tìm tập xác định của hàm số khi

$m = 2$

$2$ ) Tìm các giá trị của

$m$ sao cho hàm số xác định

$\forall x \ge1$

Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số:

$y = 2^{\sqrt {\left| {x - 3} \right| - \left| {8 - x} \right|} } + {\sqrt {\frac{ -\log_{0,3}(x - 1)}{\sqrt {x^2 - 2x - 8} }} _{}}$

Bài 1. Cho hàm số:

$y = \frac{2x^2 + 3x + 1}{x - 1}\,$

$1$ . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.

$2$ . Một lớp học có

$20$ học sinh, trong đó có

$2$ cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử

$3$ người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong

$3$ người có ít nhất một cán bộ lớp.

Bài 2. Cho

$n \in N$ . Tính tổng :

$\sum = C^0_n + \frac{2^2-1}{2}C^1_n+\frac{2^3-1}{3}C^2_n+...+\frac{2^{n+1}-1}{n+1}C^n_n.$

Bài 3. a) Tính

$I = \int\limits_{0}^{1}x(1-x^2)^ndx, n \in N$
b) Chứng minh rằng

$\frac{1}{2} C^0_n - \frac{1}{4} C^1_n + \frac{1}{6}C^2_n-...+\frac{(-1)^n}{2n+2}C^n_n = \frac{1}{2n+2}, \forall n \in N$

Bài 4. Chứng minh rằng:

$n.4^{n-1}C^0_n-(n-1)4^{n-2}C^1_n+(n-2)4^{n-1}C^2_n-...+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n$

$= C^1_n + 4C^2_n+...+n.2^{n-1}C^n_n, \forall n \in N$

Bài 1. Cho

$\div u_1, u_2, u_3, u_4$ biết:

$\begin{cases}u_1+u_4=-49 \\ u_2+u_3=14 \end{cases}$ . Tím bốn số đó.

Bài 2. Chứng minh rằng với

$n$ nguyên dương, ta có:
a)

$\left| {sinna} \right| \leq n. \left| {sina} \right| (1)$
b)

$sin^{2n} \alpha +cos^{2n} \alpha \leq 1 (2)$

Bài 3. Chứng minh rằng các số

$49, 4489, 444889, ...$ số thứ hai

$4489$ có được từ việc xem số

$48$ giữa hai chữ số 4 và 9, v.v... đều là số chính phương ( bình phương của các số nguyên)

Bài 4. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số hạng thứ p, q, r của một cấp số cộng cũng như của của một cấp số nhân thì

$a^{b-c}.b^{c-a}.c^{a-b}=1$

Bài 1. Chứng minh các đẳng thức :
a)

$A \cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)$ .
b)

$A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$ . (Tính chất phân phối)

Bài 2. Phủ định các mệnh đề sau:
a)

$3=2$
b)

$1<5$
c)

$4 \geq 5$
d)

$\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Bài 3. Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}Z-W= i\\ iZ-W=1 \end{cases}$ .

Bài 4. Tìm số phức

$Z$ nếu

$(2+3i)Z=Z-1$ .

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ , cho hai đường thẳng:

$d_1:\begin{cases}2x-y+3z-5=0 \\ x+2y-z=0 \end{cases} ; d_2\begin{cases}2x-2y-3z-17=0 \\ 2x-y-2z-3=0 \end{cases}$ và điểm

$A(3;2;5)$ .
a) Tìm tọa độ điểm

$A'$ đối xứng với

$A$ qua

$d_1$ .
b) Lập phương trình mặt phẳng đi qua

$d_1$ và song song với

$d_2$ .
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

$d_1,d_2$ .

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ cho bốn điểm

$A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)$ . Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm

$A,B,C,D$ .

Bài 3. Tìm số dư

$r$ của phép chia

$Q(x)=1+2x^2-3x^3+4x^4-...+(-1)^nx^n$ cho

$x+1$

Bài 4. Tìm số dư

$r$ của phép chia

$Q(x)=x^5+x+1$ cho

$x^3-x$

Bài 1. Chứng minh :

$\frac{{\sqrt[3]{{a + \sqrt {2 - {a^2}} }}.\sqrt[6]{{1 - a\sqrt {2 - {a^2}} }}}}{{\sqrt[3]{{1 - {a^2}}}}} =\begin{cases}\sqrt[6]{2}\,\,\,\,\,nếu\,\,\,\,\,\left| a \right| < 1 \\ - \sqrt[6]{2}\,\,\,\,\,\,nếu\,\,\,\,\,1 < \left| a \right| \le 2 \end{cases}$

Bài 2. Chứng minh rằng:

$n.4^{n-1}C^0_n-(n-1)4^{n-2}C^1_n+(n-2)4^{n-1}C^2_n-...+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n$

$= C^1_n + 4C^2_n+...+n.2^{n-1}C^n_n, \forall n \in N$

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức :
a)

$A = \frac{C^4_{21}}{C^3_{19}+C^4_{19}+C^3_{20}}.$ b)

$B = \frac{C^{98}_{100} + C^{998}_{1000}}{C^2_{1000}+C^2_{100}}$

Bài 4. Cho dãy

$(S_m), m \in N$ và

$m\geq 4$ , xác định như sau :

$S_4 = 1,$

$S_{m+1} = S_m + 1(m-2)+2(m-3)+3(m-4)+...+(m-2).1$
Chứng minh rằng :

$S_m = C^4_m$