Bài 106341

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình:

$(d): \begin{cases}x=1+2t \\ y=t\\z=1-t \end{cases} , t\in R; (P): x+y-z+2=0$
1. Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (P) tại điểm A. Tìm tọa độ điểm A, tính sin góc giữa (d) và (P)
2. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d) tại điểm E(1; 0; 1) và tiếp xúc với (P)

score 0 · Answer 1

Ta có:
+) Đường thẳng (d) có vtcp

$\overrightarrow{u}(2; 1; -1)$
+) Mặt phẳng (P) có vtpt

$\overrightarrow{n}(1; 1; -1)$
1. Bằng cách thay tham số của (d) vào (P) ta thấy:

$1+2t+t-1+t+2=0 \leftrightarrow 4t+2=0 \leftrightarrow t=-\frac{1}{2} \rightarrow A(0; -\frac{1}{2}; \frac{3}{2}$
Vậy đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A
Gọi

$\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P), ta có:

$\sin\alpha=\frac{|2+1+1|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}.\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} }=\frac{4}{\sqrt{6}.\sqrt{3} }=\frac{2 \sqrt{2} }{3}$

2. Mặt cầu (S) với tâm I cần dựng sẽ tiếp xúc với hình chiếu vuông góc (d') của (d) trên (P)
Ta lần lượt có:
+) Mặt phẳng ((d), (d')) với vtpt

$\overrightarrow{n'}$ được cho bởi :

$\begin{cases}\overrightarrow{n'} vuông góc \overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{n'} vuông góc \overrightarrow{n} \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{n'}=[\overrightarrow{n}, \overrightarrow{u} ] =(0; -1; -1)$ Chọn

$\overrightarrow{n'}(0; 1; 1)$
+) Đường thẳng (EI) với vtpt

$\overrightarrow{v}$ được cho bởi :

$\begin{cases}\overrightarrow{v} vuông góc \overrightarrow{n'} \\ \overrightarrow{v} vuông góc \overrightarrow{u} \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{n'}=[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{n'} ] =(2; -2; 2)$ Chọn

$\overrightarrow{n'}(1; -1; 1)$
+) Phương trình đường thẳng (EI) :

$(EI): \begin{cases}x=1+t \\ y=-t\\z=1+t \end{cases} , t\in R$
Từ đó vì

$I$ thuộc

$(EI)$ nên

$I(1+t; -t; 1+t)$ ta có điều kiện:

$\overrightarrow{EI}=(t;-t;t)$

$EI=IH=d(I,(P)) \Leftrightarrow EI^2=d^2(I,(P))$

$\Leftrightarrow t^2+t^2+t^2=(\frac{|1+t-t-1-t+2|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} })^2$

$\Leftrightarrow 3t^2=\frac{(t-2)^2}{3} \leftrightarrow (t-2)^2=(3t)^2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =-1 \\t = \frac{1}{2} \end{array} \right.$
Khi đó;
+)

$t=-1$ ta có

$I_1(0; 1; 0)$ và bán kính

$R_1=\sqrt{3}$ , mặt cầu

$(S_1)$ có phương trình:

$(S_1): x^2+(y-1)^2+z^2=3$
+)

$t=\frac{1}{2}$ ta có

$I_2(\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ và bán kính

$R_2=\frac{\sqrt{3} }{2}$ mặt cầu có phương trình:

$(x-\frac{3}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2+(z-\frac{3}{2})^2=\frac{3}{4}$

có cách đơn giản hơn ko bạn, cách này hơi phức tạp chỗ vecto v và n'

Bài 106341

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106341

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan