Bài toán

Question

Cho hàm số $f(x) = \frac{4}{3}{x^3} - 2(1 - \sin a){x^2} + (1 + \cos2a)x + 1$. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2 $ thảo mãn điều kiện: $x_1^2 + x_2^2 = 1$

score 1 · Answer 1

Hàm số có CĐ, CT $ \Leftrightarrow f'(x) = 4{x^2} - 4(1 - \sin a)x + (1 + c{\rm{os}}2a) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta ' = 4{(1 - \sin a)^2} - 4(1 + \cos2a) > 0$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\sin ^2}a - 2\sin a - 1 > 0\\ \Leftrightarrow \sin a < - \frac{1}{3}(*) \end{array}$ Với đk (*) thì f’(x) có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$, và hàm đạt cực trị tại ${x_1},{x_2}$. Theo Viet ta có: ${x_1} + {x_2} = 1 - \sin a;{x_1}.{x_2} = \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{4}$ Giả thiết: $x_1^2 + x_2^2 = 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 1$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1 - \sin a)^2} - \dfrac{{1 + \cos2a}}{2} = 1\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}a - 2\sin a - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin a = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\\ \sin a = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \end{array}$ So sánh với (*) ta suy ra $\sin a = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = \arcsin \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + k2\pi \\ a = \pi - \arcsin \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in Z$

Bài toán

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài toán

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan