Bài 111474

Question

Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:
a) $\sin A= \frac{\sin B+ \sin C}{\cos B +\cos C} $ thì $\Delta ABC$ vuông ở $A$.
b) $\sin \frac{A}{2} \cos^3 \frac{B}{2}= \sin \frac{B}{2} \cos^3 \frac{A}{2}$ thì $\Delta ABC$ cân đỉnh $C$.
c) $\sin A. \sin B. \sin C =\frac{3\sqrt{3} }{8} $ thì $\Delta ABC $ đều.

score 2 · Answer 1

a) ĐK: $\sin A=\frac{\sin B+ \sin C}{\cos B +\cos C}     \Leftrightarrow   \sin A= \frac{\sin \frac{B+C}{2}. \cos \frac{B-C}{2} }{\cos \frac{B+C}{2}. \cos \frac{B-C}{2} }        (1)$
Trong $\Delta ABC$ do các góc $A, B,C$ đều dương và $A+B+C=180^0$ nên
$\cos \frac{B-C}{2} \neq 0, \sin \frac{B+C}{2}= \cos \frac{A }{2},   \cos \frac{B+C}{2}=\sin \frac{A}{2}     $
Do đó $(1)$ trở thành $ 2\sin \frac{A}{2}. \cos \frac{A}{2}= \frac{\cos \frac{A}{2} }{\sin \frac{A}{2} } \Leftrightarrow   2\sin^2 \frac{A}{2}=1$ hay $\cos A=0$
Suy ra $A=90^0$, tức $\Delta ABC$ vuông tại $A$.

b) $ĐK: \sin A \cos^3 \frac{B}{2}=\sin \frac{B}{2} \cos^3 \frac{A}{2}$
$\Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}(1-\sin^2 \frac{B}{2} ) = \sin \frac{B}{2} \cos \frac{A}{2}(1-\sin^2 \frac{A}{2} )$
$ \Leftrightarrow [\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2} \cos \frac{A}{2}] - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}[\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2} -\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}] =0 $
$\Leftrightarrow   \sin \frac{A-B}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}[\cos \frac{B+A}{2}.\sin \frac{B-A}{2}]=0   $
$\Leftrightarrow   \sin \frac{A-B}{2} [1+\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}]=0           (*)$
Trong $\Delta ABC: 1+ \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} >0$ nên từ $(*)$ suy ra $\sin \frac{A-B}{2}=0 $
$\Leftrightarrow A=B$ suy ra đpcm.
c) Sử dụng BDT Cosi, từ $\sin A \sin B \sin C \leq (\frac{\sin A+ \sin B+ \sin C}{3} )^3$ suy ra đpcm.

Bài 111474

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111474

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan