Bài 105729

Question

Cho hàm số
$y = 2{x^3} - 3(\sin \alpha + \cos \alpha ){x^2} + 9x\sin \alpha \cos \alpha + 1$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $\alpha = 0$. Chỉ rõ các giao điểm của đồ thị với trục hoành.
2) Trong trường hợp tổng quát, hãy nêu lên điều kiện đối với $\sin 2\alpha $ để:
a) Hàm số có cực đại và cực tiểu;
b) hàm số là đồng biến trên $R$.
3) Cung $\alpha $ phải nhận những giá trị nào để hàm số có cực đại và cực tiểu

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 3:47:51 PM

$1)$ Với $\alpha = 0$, ta có hàm số:
        $y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1$.
•    Vẽ đồ thị dành cho bạn đọc
•    Để xác định các giao điểm của đồ thị với trục $Ox$, ta nhận xét rằng đồ thị tiếp xúc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x = 1$.
Vậy $x = 1$ là nghiệm kép của phương trình
        $2{x^3} - 3{x^2} + 1 = 0$,
Nói cách khác, đa thức $2{x^3} - 3{x^2} + 1$ chia hết cho ${(x - 1)^2}$.
Thực hiện phép chia đó ta được:
    $2{x^3} - 3{x^2} + 1 = {(x - 1)^2}(2x + 1)$,
Tức là ta có phương trình   ${(x - 1)^2}(2x + 1) = 0$
Suy ra : đồ thị cắt $Ox$ tại điểm $x = - \frac{1}{2}$ và tiếp xúc với Ox tại điểm $x = 1$.

$2)$ Trong trường hợp tổng quát, hàm số có đạo hàm
    $y' = 6{x^2} - 6(\sin \alpha + c{\rm{os}}\alpha )x + 9\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha $,            $(1)$
Đó là một tam thức bậc hai với biệt số thu gọn
$\begin{array}{l}
\Delta ' = 9{(\sin \alpha + c{\rm{os}}\alpha )^2} - 54\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha   \\
   = 9\left[ {{{(\sin \alpha + c{\rm{os}}\alpha )}^2} - 6\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha } \right] \\
= 9\left( {1 - 4\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha } \right) = 9(1 - 2\sin \alpha ).
\end{array}$

a) Để hàm số y có cực đại và cực tiểu thì tam thức $(1)$ phải có $2$ nghiệm phân biệt, tức là $\Delta ' = 1 - 2\sin 2\alpha > 0$ hay
        $\sin 2\alpha < \frac{1}{2}$                            $(2)$

b) Để hàm số $ y$ đồng biến trên $R$, thì cần có $y' \ge 0$ với mọi $x \in R$, vậy
    $\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin 2\alpha \le 0 \Leftrightarrow \sin 2\alpha \ge \frac{1}{2}$

$3)$ Cung $2\alpha = AM$ trên đường tròn lượng giác phải thỏa mãn điều kiện $(2)$, hay:
    $ - 1 \le \sin 2\alpha < \frac{1}{2}$
Từ hình vẽ điểm $M$ chỉ có thể chạy trên cung vẽ nét đậm.
    $ \Rightarrow - \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi < 2\alpha < \frac{\pi }{6} + 2k\pi , {\rm{ (k}} \in {\rm{Z)}}$
hay $ - \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi < \alpha < \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,        {\rm{ (k}} \in {\rm{Z)}}$

Bài 105729

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105729

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan