Bài 105542

Question

Cho hàm: $y = {x^3} + m{x^2} - 1$
a) Chứng minh rằng với mọi $m \ne 0$, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
b) Chứng minh rằng với mọi $m$, phương trình ${x^3} + m{x^2} - 1 = 0$ luôn có một nghiệm dương.
c) Xác định $m$ để phương trình ${x^3} + m{x^2} - 1 = 0$ có một nghiệm duy nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 3:17:15 PM

a) Ta có: $y' = 3{x^2} + 2mx = x(3x + 2m)$
Với $m \ne 0, y’ $luôn có hai nghiệm $x = 0$ và $x = - 2m/3$
Đồng thời $y’$ là một tam thức bậc hai nên đổi dấu qua 2 nghiệm đó $ \Rightarrow $ với mọi $m \ne 0$, hàm số $y$ luôn có cực đại và cực tiểu.

b) Ta có:
$y(0) = - 1,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty $ nên tồn tại ${x_o}$ : $0 < {x_o} < + \infty $ để $y({x_o}) = 0 $
$\Rightarrow $ phương trình ${x^3} + m{x^2} - 1 = 0$ luôn có một nghiệm dương ${x_o}$ với mọi $m$.

c) * $m = 0$ ta có ${x^3} - 1 = 0$$ \Leftrightarrow x = 1$ là nghiệm duy nhất.
* $m \ne 0$, theo phần a) hàm số $y$ luôn có cực đại và cực tiểu tại $x = 0,x = - 2m/3 \Rightarrow $ để ${x^3} + m{x^2} - 1 = 0$ có nghiệm duy nhất điều kiện cần và đủ là:
$y_{CĐ}.y_{CT} > 0$ $ \Leftrightarrow y(0)y( - 2m/3) > 0$
$ \Leftrightarrow - 1.\left[ {{{( - 2m/3)}^3} + m{{( - 2m/3)}^2} - 1} \right] > 0$
$ \Leftrightarrow 4{m^3} - 27 < 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{m}} < \frac{3\sqrt{2} }{2}$
Đáp số : ${\rm{m}} < \frac{3\sqrt{2} }{2} $

Bài 105542

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105542

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan