|
|
$1)$ Viết lại biểu thức hàm số dưới dạng:
$y = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m + \frac{2}{{x - m}}$
Từ đó ta có:
$y' = \left( {m + 1} \right) - \frac{2}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \left( {m + 1} \right)\frac{{{{\left( {x - m} \right)}^2} - 2/\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$ (do $m + 1 \ne 0$ ).
Do đó để hàm số có cực đại, cực tiểu thì $2/\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m > - 1$.
Để hoành độ điểm cực đại, cực tiểu thuộc khoảng $(0, 2)$ cần có (đặt $f\left( x \right) = {\left( {x - m} \right)^2} - 2/\left( {m + 1} \right)$)
$\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) > 0\\
f\left( 2 \right) > 0\\
0 < S/2 < 2
\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 2/\left( {m + 1} \right) > 0\\
{\left( {2 - m} \right)^2} - 2/\left( {m + 1} \right) > 0\\
0 < m < 2
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + 2m + 2} \right)/\left( {m + 1} \right) > 0\\
\left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} - 2m - 2} \right)/\left( {m + 1} \right) > 0\\
0 < m < 2
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < - 1,m > 1\\
m < - 1,1 - \sqrt 3 < m < 1,m > 1 + \sqrt 3 \\
0 < m < 2
\end{array} \right.{\rm{ }}$: hệ này vô nghiệm.
Vậy không tòn tại m thỏa mãn đầu bài.
$2)$ Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{2}{{x - m}} = 0$ nên $y = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Giả sử parabol $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ cố định luôn tiếp xúc với tiệm cận xiên. Khi đó hệ sau luôn có nghiệm với mọi m:
$\left\{ \begin{array}{l}
a{x^2} + bx + c = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m{\rm{ (1)}}\\
2ax + b = m + 1{\rm{ (2)}}
\end{array} \right.$
Nhân $(2)$ với $x$, thế vào $(1)$ ta có:
$c = a{x^2} + {m^2} - m$ $(3)$
Từ $(2)$ ta có $x = \left( {m + 1 - b} \right)/2a$, rồi thế vào $(3)$ ta có:
$c = a{\left( {\frac{{m + 1 - b}}{{2a}}} \right)^2} + {m^2} - m$
$ \Leftrightarrow \left( {1 + 4a} \right){m^2} + 2\left( {1 - b - 2a} \right)m + \left( {1 - 2b + {b^2} - 4ac} \right) = 0$ $(4)$
$(4)$ đúng với mọi $m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 + 4a = 0\\
1 - b - 2a = 0\\
1 - 2b + {b^2} - 4ac = 0
\end{array} \right.$
Giải ra ta có: $a = - 1/4,b = 3/2,c = - 1/4.$
Vậy parabol phải tìm là
$y = \left( { - 1/4} \right){x^2} + \left( {3/2} \right)x - 1/4$.
$ 3)$ *Đồ thị hàm số có tiệm cần đứng $x = m$, tiệm cận xiên $y = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m$.
Dễ nhận thấy rằng tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do đó tâm đối xứng có tọa độ $\left( {m,2{m^2}} \right)$.
Tâm đối xứng nằm trên parabol $y = {x^2} + 1$ khi và chỉ khi $2{m^2} = {m^2} + 1 \Leftrightarrow {m^2} = 1$. Lại do $m \ne 1$ nên $m = 1$ là giá trị cần tìm.
* Vẽ đồ thị khi $m = 1$ dành cho bạn đọc.
$4)$ Giả sử các điểm cần tìm có dạng $\left( {{x_0},0} \right)$, tiếp tuyến với đồ thị hàm số ở phần 3 đi qua điểm $\left( {{x_0},0} \right)$ có dạng $y = k\left( {x - {x_0}} \right)$. Gọi hoành độ tiếp điểm ${x_1}$. Khi đó $k = y'\left( {{x_1}} \right) = 2 - \frac{2}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}}$. Bài toán dẫn đến tìm ${x_0}$ để phương trình:
$2{x_1} - \frac{2}{{{x_1} - 1}} = k\left( {{x_1} - {x_0}} \right)$ $(1)$
Có nghiệm ${x_1}$ duy nhất $ \ne 1$ .
$(1)$ $ \Leftrightarrow 2{x_1} - \frac{2}{{{x_1} - 1}} = \left[ {2 - \frac{2}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {{x_1} - {x_0}} \right)$
${x_0}x_1^2 + 2\left( {1 - {x_0}} \right){x_1} - 1 = 0$ $(2)$
a) ${x_0} = 0$ ta có $2{x_1} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1/2$ là nghiệm duy nhất của $(2)$.
b) ${x_1} = 1$ là nghiệm của (2), gọi nghiệm kia là ${x_2}$ ta có (theo định lý Viet)
$1.{x_2} = - {x_0},1 + {x_2} = \frac{{{x_0} - 1}}{{{x_0}}} \Rightarrow 1 - {x_0} = \frac{{{x_0} - 1}}{{{x_0}}} \Rightarrow {x_0} = 1$, do đó ${x_2} = - 1$ là một nghiệm duy nhất của (2).
c) ${x_0} \ne 0,{x_0} \ne 1$ ta có $\Delta ' = {\left( {1 - {x_0}} \right)^2} + {x_0} = x_0^2 - {x_0} + 1 > 0 \Rightarrow (2) $ có nghiệm không duy nhất.
Vậy các điểm cần tìm là : $(0, 0), (1, 0)$
|
|
|
Đăng bài 25-05-12 02:35 PM
|
|