|
|
1) Viết lại biểu thức hàm số dưới dạng:
y=(m+1)x+m2−m+2x−m
Từ đó ta có:
y′=(m+1)−2(x−m)2=(m+1)(x−m)2−2/(m+1)(x−m)2 (do m+1≠0 ).
Do đó để hàm số có cực đại, cực tiểu thì 2/(m+1)>0⇔m>−1.
Để hoành độ điểm cực đại, cực tiểu thuộc khoảng (0,2) cần có (đặt f(x)=(x−m)2−2/(m+1))
{f(0)>0f(2)>00<S/2<2⇔{m−2/(m+1)>0(2−m)2−2/(m+1)>00<m<2
⇔{(m−1)(m2+2m+2)/(m+1)>0(m−1)(m2−2m−2)/(m+1)>00<m<2
⇔{m<−1,m>1m<−1,1−√3<m<1,m>1+√30<m<2: hệ này vô nghiệm.
Vậy không tòn tại m thỏa mãn đầu bài.
2) Vì limx→∞2x−m=0 nên y=(m+1)x+m2−m là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Giả sử parabol y=ax2+bx+c(a≠0) cố định luôn tiếp xúc với tiệm cận xiên. Khi đó hệ sau luôn có nghiệm với mọi m:
{ax2+bx+c=(m+1)x+m2−m(1)2ax+b=m+1(2)
Nhân (2) với x, thế vào (1) ta có:
c=ax2+m2−m (3)
Từ (2) ta có x=(m+1−b)/2a, rồi thế vào (3) ta có:
c=a(m+1−b2a)2+m2−m
⇔(1+4a)m2+2(1−b−2a)m+(1−2b+b2−4ac)=0 (4)
(4) đúng với mọi m⇔{1+4a=01−b−2a=01−2b+b2−4ac=0
Giải ra ta có: a=−1/4,b=3/2,c=−1/4.
Vậy parabol phải tìm là
y=(−1/4)x2+(3/2)x−1/4.
3) *Đồ thị hàm số có tiệm cần đứng x=m, tiệm cận xiên y=(m+1)x+m2−m.
Dễ nhận thấy rằng tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do đó tâm đối xứng có tọa độ (m,2m2).
Tâm đối xứng nằm trên parabol y=x2+1 khi và chỉ khi 2m2=m2+1⇔m2=1. Lại do m≠1 nên m=1 là giá trị cần tìm.
* Vẽ đồ thị khi m=1 dành cho bạn đọc.
4) Giả sử các điểm cần tìm có dạng (x0,0), tiếp tuyến với đồ thị hàm số ở phần 3 đi qua điểm (x0,0) có dạng y=k(x−x0). Gọi hoành độ tiếp điểm x1. Khi đó k=y′(x1)=2−2(x1−1)2. Bài toán dẫn đến tìm x0 để phương trình:
2x1−2x1−1=k(x1−x0) (1)
Có nghiệm x1 duy nhất ≠1 .
(1) ⇔2x1−2x1−1=[2−2(x1−1)2](x1−x0)
x0x21+2(1−x0)x1−1=0 (2)
a) x0=0 ta có 2x1−1=0⇔x1=1/2 là nghiệm duy nhất của (2).
b) x1=1 là nghiệm của (2), gọi nghiệm kia là x2 ta có (theo định lý Viet)
1.x2=−x0,1+x2=x0−1x0⇒1−x0=x0−1x0⇒x0=1, do đó x2=−1 là một nghiệm duy nhất của (2).
c) x0≠0,x0≠1 ta có Δ′=(1−x0)2+x0=x20−x0+1>0⇒(2) có nghiệm không duy nhất.
Vậy các điểm cần tìm là : (0,0),(1,0)
|
|
|
Đăng bài 25-05-12 02:35 PM
|
|