|
|
1.Hàm số y=ax+bcx+d(c≠0&ad−bc≠0)
Ví dụ: Khảo sát hàm số biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=2x−1x−1
Giải :
1) Hàm số có tập xác định là R∖{1}
2) Sự biến thiên của hàm số
a) Giới hạn vô cực , giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận ta có
lim và \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho ( khi x \to {1^ - } và khix \to {1^ + })
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho (khi x \to + \infty Và khix \to - \infty )
b) Bảng biến thiên
Ta có y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0 với mọi x \ne 1
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( - \infty ;1) và (1; + \infty )
3) Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm ( 0 ; 1) và cắt trục hoành tại điểm \left( {\frac{1}{2};0} \right)
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(1 ; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
2 . Hàm số y = \frac{{{\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c}}{{a'x + b'}}\,\,\,\,\,\,\,\,(a \ne 0\,,\,\,a' \ne 0)
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = \frac{{{{\text{x}}^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}
Giải :
Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng
y = x + \frac{3}{{x - 2}}
1) Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}
2) Sự biến thiên của hàm số
a) Giới hạn vô cực , giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận
Ta có
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = + \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = - \infty
do đó , đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho ( khi x \to {2^ - } và khix \to {2^ + })
Vì y - x = \frac{{ - 3}}{{x - 2}} \to 0 khi x \to + \infty Và khix \to - \infty nên đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x \to + \infty Và khix \to - \infty )
b) Bảng biến thiên
Vì y' = 1 + \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0 với mọi x \ne 2 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( - \infty ;2) và (2; + \infty )
3) Đồ thị :
Đồ thị cắt trục tung tại điểm ( -1 ; 0) và cắt trục hoành tại điểm \left( {3;0} \right)
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2 ; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
|