Áp dụng hệ thức Descartes,ta có $A,B,C,D$ lập thành hàng điểm điều hòa
$\Leftrightarrow \frac{2}{\overline {CD}}=\frac{1}{\overline {CA}}+\frac{1}{\overline {CB}}=\frac{\overline {CB}+\overline {CA}}{\overline {CA}.\overline {CB}}$
$\Leftrightarrow \overline {CA}.\overline {CB}=\overline {CD}.\frac{\overline {CB}+\overline {CA}}{2}$
$\Leftrightarrow \overline {CA}.\overline {CB}=\overline {CD}.\overline {CI}$(đpcm)
*Áp dụng:
Giả sử $D(x;y)$
Vì A,B,C,D thẳng hàng nên $D$ thuộc đường thẳng qua AB, có $\overrightarrow{AB}(-2;-4)$.
Phương trình đường thẳng qua A,B là :
$\frac{x-2}{-2}=\frac{y-3}{-4}\Leftrightarrow (d): y=2x-1$
Do đó$D(x;2x-1)$
Xét $I$ là trung điểm AB, $I(1;1)$.
$\overline{CA}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}$
$\overline{CB}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
$\overline{CD}=\sqrt{(x+1)^2+(2x+2)^2}=\sqrt{5x^2+10x+5}$
$\overline{CI}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$
Áp dụng hệ thức ở phần trên ta suy ra: $100x^2+200x+100=225\Leftrightarrow x=\frac{1}{2} hoặc x=-\frac{5}{2}$
$x=\frac{1}{2}\Rightarrow D1(\frac{1}{2};0)$
$x=-\frac{5}{2}\Rightarrow D2(-\frac{5}{2};-6)$
Do $\overrightarrow{CA}(3;6) và \overrightarrow{CB}(-2;-1)$ cùng chiều nên $\overrightarrow{DA} $ và
$\overrightarrow{DB}$ ngược chiều. Thử lại với 2 điểm $D1, D2$ thấy chỉ có $D1$ thỏa mãn.
Vậy có tọa độ điểm D cần tìm $D(\frac{1}{2};0)$