a) Gọi $H$ là trung điểm của $AC$ thì $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $mp(\alpha )$
$mp(\alpha )$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-1;1).$ Nếu gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(\alpha )$ thì $\Delta $ có phương trình tham số là:
$\left\{ \begin{array}{l} x=3+2t\\ y=6-t\\z=2+t \end{array} \right. (t\in R)$
Tọa độ của $H$ ứng với $t$ là nghiệm đúng của phuong trình: $2(3+2t)-(6-t)+(2+t)+4=0\Leftrightarrow 6t+6=0\Leftrightarrow t=-1$
Suy ra $H(1;7;1)$ và $\left\{ \begin{array}{l} x_C=2.1-3=-1\\ y_C=2.7-6=8\\z_C=2.1-2=0 \end{array} \right. $
Vậy $C(-1;8;0)$
b) Gọi $f(M)=2x-y+z+4$ với $M(x;y;z), A(3;6;2), B(3;-1;-3)$
Ta có $f(A)=6>0, f(B)=-4<0\Rightarrow A, B$ nằm khác phía đối với $mp(\alpha )$.
Do đó hai điểm $B, C$ nằm cùng phía đối với $(\alpha )$
Vì hai điểm $A, C$ đối xứng nhau qua $mp(\alpha )$, nên với $M$ là một điểm bất kì trên $mp(\alpha )$ ta luôn có $MA=MC$
Ta có: $|MA-MB|=|MC-MB|\leq BC$
Ðẳng thức xảy ra khi ba điểm $B, C, M$ thẳng hàng và điểm $M$ nằm ngoài đoạn thẳng $BC$. Khi dó $M$ trùng với điểm $M_0$ là giao điểm của đường thẳng $BC$ và $mp(\alpha )$
Ðường thẳng $BC$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;9;3) $
Phương trình tham số của đường thẳng $BC:\left\{ \begin{array}{l} x=-1+2t\\ y=8+9t\\z=3t \end{array} \right. $
Tọa độ $M_0$ ứng với $t$ là nghiệm đúng của phương trình:
$2(-1+2t)-(8+9t)+3t+4=0\Leftrightarrow -2t-6=0\Leftrightarrow t=-3$
Suy ra $M_0(-7;-19;-9)$
Vậy $max|MA-MB|=BC=\sqrt{94} $ khi $M$ ở vị trí $M_0(-7;-19;-9)$