a) Gọi H là trung điểm của AC thì H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(α)
mp(α) có vecto pháp tuyến →n=(2;−1;1). Nếu gọi Δ là đường thẳng qua A và vuông góc với (α) thì Δ có phương trình tham số là:
{x=3+2ty=6−tz=2+t(t∈R)
Tọa độ của H ứng với t là nghiệm đúng của phuong trình: 2(3+2t)−(6−t)+(2+t)+4=0⇔6t+6=0⇔t=−1
Suy ra H(1;7;1) và {xC=2.1−3=−1yC=2.7−6=8zC=2.1−2=0
Vậy C(−1;8;0)
b) Gọi f(M)=2x−y+z+4 với M(x;y;z),A(3;6;2),B(3;−1;−3)
Ta có f(A)=6>0,f(B)=−4<0⇒A,B nằm khác phía đối với mp(α).
Do đó hai điểm B,C nằm cùng phía đối với (α)
Vì hai điểm A,C đối xứng nhau qua mp(α), nên với M là một điểm bất kì trên mp(α) ta luôn có MA=MC
Ta có: |MA−MB|=|MC−MB|≤BC
Ðẳng thức xảy ra khi ba điểm B,C,M thẳng hàng và điểm M nằm ngoài đoạn thẳng BC. Khi dó M trùng với điểm M0 là giao điểm của đường thẳng BC và mp(α)
Ðường thẳng BC có vecto chỉ phương →u=(2;9;3)
Phương trình tham số của đường thẳng BC:{x=−1+2ty=8+9tz=3t
Tọa độ M0 ứng với t là nghiệm đúng của phương trình:
2(−1+2t)−(8+9t)+3t+4=0⇔−2t−6=0⇔t=−3
Suy ra M0(−7;−19;−9)
Vậy max|MA−MB|=BC=√94 khi M ở vị trí M0(−7;−19;−9)