Bài 106893

Question

Cho ba điểm $A(0;0;1), B(0;1;0),C(1;2;3)$ và $(P):x+y+z-1=0$. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn hệ thức $2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} =\overrightarrow{0} $
a) Tìm tọa độ $I$
b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $mp(P)$. Tìm tọa độ $H$
c) Tìm điểm $M$ thuộc $(P)$ sao cho biểu thức $T=2MA^2+MB^2-MC^2$ có giá trị nhỏ nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/5/2012 2:03:03 PM

$\begin{array}{l}
2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2({x_A} - {x_I}) + ({x_B} - {x_I}) - ({x_C} - {x_I}) = 0\\
2({y_A} - {y_I}) + ({y_B} - {y_I}) - ({y_C} - {y_I}) = 0\\
2({z_A} - {z_I}) + ({z_B} - {z_I}) - ({z_C} - {z_I}) = 0
\end{array} \right.\\

a) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{2{x_A} + {x_B} - {x_C}}}{2} = - \frac{1}{2}\\
{y_I} = \frac{{2{y_A} + {y_B} - {y_C}}}{2} = - \frac{1}{2}\\
{x_I} = \frac{{2{y_A} + {y_B} - {y_C}}}{2} = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)
\end{array}$

b) $H$ là hình chiếu của góc $I$ lên $(P)$ nên $IH$ vuông góc với $(P)$
$\Rightarrow \overrightarrow{IH} $ cùng phương với vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;1;1) $ của $(P)$
$\overrightarrow {IH} = t.\overrightarrow n \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_H} - {x_I} = t\\
{y_H} - {y_I} = t\\
{z_H} - {z_I} = t
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_H} = {x_I} + t = - \frac{1}{2} + t\\
{y_H} = {y_I} + t = - \frac{1}{2} + t\\
{z_H} = {z_I} + t = - \frac{1}{2} + t
\end{array} \right.$
Lại có: $H\in (P)$ $ \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} + t + \frac{{ - 1}}{2} + t + \frac{{ - 1}}{2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{6} \Rightarrow H\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)$

c)
$\begin{array}{l}
T = 2M{A^2} + M{A^2} - M{C^2} = 2\overrightarrow {M{A^2}} + \overrightarrow {M{B^2}} - \overrightarrow {M{C^2}} \\
= 2{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2} - {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )^2}\\
= 2M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} (2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} ) + 2I{A^2} + I{B^2} - I{C^2}\\
= 2M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - I{C^2}
\end{array}$
Vì $2I{A^2} + I{B^2} - I{C^2}$ có giá trị không đổi do đó:
$T$ đạt $\min\Leftrightarrow MI$ đạt $\min$
$\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $(P)$ (vì $M\in (P)$)
$\Leftrightarrow M$ trùng $H$
Vậy $T$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow M\equiv H(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3} )$

Bài 106893

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106893

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan