Bài 108867

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 4; 5), B(0; 3; 1), C(2; -1; 0) và mặt phẳng (P) có phương trình:
$(P): 3x-3y-2z-15=0$
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình phương khoảng cách đến các điểm A, B, C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng (P). Xác định tọa độ của điểm M đó

score 0 · Answer 1

Chứng minh M trùng với H là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (P)
Với G là trọng tâm của tam giác ABC ta có:
         $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0   $
và với mọi điểm $M\in (P)$ luôn có:
         $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \Rightarrow MA^2=MG^2+GA^2+2 \overrightarrow{MG}\overrightarrow{GA}    $
         $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \Rightarrow MB^2=MG^2+GB^2+2 \overrightarrow{MG}\overrightarrow{GB}    $
         $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \Rightarrow MC^2=MG^2+GC^2+2 \overrightarrow{MG}\overrightarrow{GC}    $
suy ra:
         $MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+(GA^2+GB^2+GC^2)$
Vậy :
         $MA^2+MB^2+MC^2$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất
         $\Leftrightarrow $M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (P) $\Leftrightarrow M \equiv H$
+) Xác định tọa độ điểm M
Tọa độ điểm G(1; 2; 2)
Mặt phẳng (P) có vtpt $\overrightarrow{a}(3; -3; -2) $
Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P), ta có:
         $(d): \begin{cases}qua G(1; 2;2 ) \\ vtcp \overrightarrow{n}(3; -3; -2) \end{cases} \Leftrightarrow (d): \begin{cases}x=1+3t \\ y=2-3t\\z=2-2t \end{cases} . t\in R$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P), ta có: $H=(d) \cap (P)$
Thay x, y, z từ phương trình tham số của (d) vào (P) ta được:
         $3(1+3t)-3(2-3t)-2(2-2t)-15=0 \Leftrightarrow t=0 \Rightarrow H(4; -1; 0) $

Bài 108867

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108867

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan