Bài 107232

Question

Cho hình chóp có các cạnh bên đôi một vuông góc với nhau. Gọi $\alpha, \beta,\gamma$ là các góc giữa đường cao xuất phát từ đỉnh và cạnh bên của hình chóp. Chứng minh:
$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \beta+\sin^2 \gamma}+\frac{cos^2 \beta}{\sin^2 \alpha+ \sin^2 \gamma}+\frac{\cos^2 \gamma}{\sin^2 \alpha+\sin^2 \beta} \leq \frac{3}{4}$

score 0 · Answer 1

Vẽ chiều cao $SH$. Đặt $\widehat {ABC}=\alpha; \widehat {BSH}=\beta; \widehat {CSH}=\gamma$
Rõ ràng ta có: $\frac{1}{SH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{SB^2}+\frac{1}{SC^2}   (1)$
Nhân cả hai vế của $(1)$ với $SH^2$ và có:
   $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1   (2)$
Đặt: $\sin^2\beta+\sin^2\gamma=a$
     $\sin^2\alpha+\sin^2\gamma=b$
     $\sin^2\alpha+\sin^2\beta=c$
Khi đó dựa vào $(2)$ ta có:
   $a+b+c=2(\sin^2 \alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma)=4$
Ta có $\cos^2\alpha=1-\sin^2 \alpha=1-(2-\sin^2\beta-\sin^2\gamma)=a-1$
Tương tự $\cos^2\beta=b-1; \cos^2\gamma =c-1$
Vậy bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức:
$\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-1}{c}\leq \frac{3}{4}$ hay $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \Leftrightarrow \frac{9}{4} (3)$
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
   $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c) \geq 9$ mà $a+b+c=4$
Vậy $(3)$ đúng $\Rightarrow $ điều phải chứng minh
Dấu bằng có $\Leftrightarrow a=b=c \Leftrightarrow \alpha=\beta=\gamma \Leftrightarrow SA=SB=SC$

Bài 107232

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107232

1 Đáp án

Liên quan

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Lý thuyết liên quan