Bài 106992

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình vuông cạnh

$a$ , canh bên

$SA=a$ ; hình chiếu vuông góc của đỉnh

$S$ trên mặt phẳng

$(ABCD)$ là điểm

$H$ thuộc đoạn

$AC, AH =$

$\frac{ AC}{4}$ . Gọi

$CM$ là đường cao của tam giác

$SAC$ . Chúng minh

$M$ là trung điểm của

$SA$ và tính thể tích khối tứ diện

$SMBC$ theo

$a$ .

score 0 · Answer 1

$AC= AB\sqrt2=a \sqrt{ 2}$

$\Rightarrow AH= \frac{ a \sqrt{ 2}} {4}; CH= \frac{ 3a \sqrt{ 2}}{4}$
Tam giác vuông SAH cho

$SH= \sqrt{ SA^{2}-AH^{2}}= \frac{ a \sqrt{ 7}}{2 \sqrt{ 2}}$
Tam giác vuông SHC cho

$SC^{2}= SH^{2}+HC^{2} =\frac{ 7 a^{2} }{8}+ \frac{ 18 a^{2} }{16}=2 a^{2} \Rightarrow SC=AC= a \sqrt{ 2}$
Tam giác CSA cân tại C nên lấy

$CM \bot SA(M\in SA)$ thì M là trung điểm SA.
Từ M kẻ đường thẳng MI (ABC) thì I

$\in$ AC và I là trung điểm AH,

$MI= \frac{ 1}{2}SH$

$V_{S.ABC}= \frac{ 1}{3}S_{ABC}.SH= \frac{ 1}{3}. \frac{ a^{2} }{2}. \frac{ a \sqrt{ 7}}{2 \sqrt{ 2}}= \frac{ a^{3} \sqrt{ 7}}{12 \sqrt{ 2}}$

$V_{M.ABC}= \frac{ 1}{2}V_{S.ABC}$ do có chung đáy ABC còn đường cao

$MI= \frac{ 1}{2}SH$

$\Rightarrow V_{S.MBC}=V_{S.ABC}-\frac{ 1}{2}V_{M.ABC}= \frac{ 1}{2}V_{S.ABC}= \frac{ a^{3} \sqrt{ 7}}{ 24 \sqrt{ 2}}(dvtt)$
Vậy

$V_{S.MBC}=\frac{ a^{3} \sqrt{ 7}}{ 24 \sqrt{ 2}}(dvtt)$

1 Đáp án