Bài 106992

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, canh bên $SA=a$; hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $H$ thuộc đoạn $AC, AH =$ $\frac{ AC}{4}$. Gọi $CM$ là đường cao của tam giác $SAC$. Chúng minh $M$ là trung điểm của $SA $và tính thể tích khối tứ diện $SMBC$ theo $a$.

score 0 · Answer 1

$AC= AB\sqrt2=a \sqrt{ 2}$
$\Rightarrow AH= \frac{ a \sqrt{ 2}} {4}; CH= \frac{ 3a \sqrt{ 2}}{4}$
Tam giác vuông SAH cho $SH= \sqrt{ SA^{2}-AH^{2}}= \frac{ a \sqrt{ 7}}{2 \sqrt{ 2}}$
Tam giác vuông SHC cho $SC^{2}= SH^{2}+HC^{2} =\frac{ 7 a^{2} }{8}+ \frac{ 18 a^{2} }{16}=2 a^{2} \Rightarrow SC=AC= a \sqrt{ 2}$
Tam giác CSA cân tại C nên lấy $CM \bot SA(M\in SA)$ thì M là trung điểm SA.
Từ M kẻ đường thẳng MI (ABC) thì I $\in$ AC và I là trung điểm AH, $MI= \frac{ 1}{2}SH$
$V_{S.ABC}= \frac{ 1}{3}S_{ABC}.SH= \frac{ 1}{3}. \frac{ a^{2} }{2}. \frac{ a \sqrt{ 7}}{2 \sqrt{ 2}}= \frac{ a^{3} \sqrt{ 7}}{12 \sqrt{ 2}}$
$V_{M.ABC}= \frac{ 1}{2}V_{S.ABC}$ do có chung đáy ABC còn đường cao $MI= \frac{ 1}{2}SH$
$\Rightarrow V_{S.MBC}=V_{S.ABC}-\frac{ 1}{2}V_{M.ABC}= \frac{ 1}{2}V_{S.ABC}= \frac{ a^{3} \sqrt{ 7}}{ 24 \sqrt{ 2}}(dvtt)$
Vậy $$V_{S.MBC}=\frac{ a^{3} \sqrt{ 7}}{ 24 \sqrt{ 2}}(dvtt)$$

Bài 106992

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106992

1 Đáp án

Liên quan

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Lý thuyết liên quan