Bài 106910

Question

Cho $A(1;3;-2), B(13;7;-4)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z-9=0$
a)Tìm hình chiếu $H$ của $A$ trên $mp(\alpha)$
b)Tìm $I\in (\alpha )$ sao cho $IA+IB$ ngắn nhất
c)Cho $K(5;-1;1)$. Chứng minh $AIHK$ là tứ diện. Tính thể tích của $AIHK$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/5/2012 3:08:43 PM

a) Phương trình tham số của $d$ qua $A$ và vuông góc với $(\alpha )$:
$\left\{ \begin{array}{l} x=1+t\\ y=3-2t\\z=-2+2t \end{array} \right. (t\in R)$
Thế vào phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ ta được:
$(1+t)-2(3-2t)+2(-2+2t)-9=0$
$\Leftrightarrow 9t-18=0\Leftrightarrow t=2$
vậy $H(3;-1;2)$

b) thế tọa độ $A, B$ vào phương trình $mp(\alpha )$
Ta có: $1-6-4-9=-18<0$
$13-14-8-9=-18<0$
Vậy $A,B$ nằm cùng phía đối với $(\alpha )$
Gọi $C$ là điểm đối xứng của $A$ qua $(\alpha )$
$H$ là trung điểm của $AC$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_C=2x_H-x_A=6-1=5\\ y_C=2y_H-y_A=-2-3=-5\\z_C=2Z_H-z_A=4+2=6 \end{array} \right. $
Ta có: $\forall M\in (\alpha ):MA+MB=MC+MB\geq BC$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow M$ nằm giữa hai điểm $A, B$
$M\equiv I$ là giao điểm của $BC$ và $(\alpha )$
Phương trình tham số đường thẳng $BC:\left\{ \begin{array}{l} x=13+4t\\ y=7+6t\\z=-4-5t \end{array} \right. (t\in R)$
Thay vào phương trình $mp(\alpha )$ ta được:
$(13+4t)-2(7+6t)+2(-4-5t)-9=0\Leftrightarrow -18t-18=0\Leftrightarrow t=-1$
Vậy $I(9;1;1)$ thì $IA+IB$ ngắn nhất

c) Ta thấy: $K(5;-1;1)\in (\alpha )$ vì $5+2+2-9=0$
Vậy ba điểm $I, H, K\in (\alpha )$
Mà $A\notin (\alpha )$. Vậy $AIHK$ là tứ diện
Ta có:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {IH} = ( - 6; - 2;1),\,\overrightarrow {IK} = ( - 4; - 2;0)\\
\Rightarrow {S_{HIK}} = \frac{1}{2}\sqrt {\left| \begin{array}{l}
- 2\\
- 2
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,{{\left. \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right|}^2} + \left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,{{\left. \begin{array}{l}
- 6\\
- 4
\end{array} \right|}^2} + \left| \begin{array}{l}
- 6\\
- 4
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,{{\left. \begin{array}{l}
- 2\\
- 2
\end{array} \right|}^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {4 + 16 + 16} = 3\\
\Rightarrow {V_{AIKH}} = \frac{1}{3}d(A,(\alpha )).{S_{HIK}} = \frac{1}{3}.| - 6|.3 = 6 (đvdt)
\end{array}$

Bài 106910

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106910

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan