Bài 100698

Question

Trong khoảng không gian với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc

$Oxyz$ cho hai mặt phẳng song song

$\left( {{P_1}} \right);\left( {{P_2}} \right)$ có các phương trình tương ứng là

$\begin{array}{l} \left( {{P_1}} \right):2x - y + 2z - 1 = 0\\ \left( {{P_2}} \right):2x - y + 2z + 5 = 0 \end{array}$ và điểm

$A(-1, 1, 1)$ nằm trong khoảng giữa

$2$ mặt phẳng đó. Gọi

$S$ là mặt cầu bất kỳ qua

$A$ và tiếp xúc với cả

$2$ mặt phẳng

$\left( {{P_1}} \right);\left( {{P_2}} \right)$ .

$1$ . Chứng tỏ rằng bán kính của hình cầu

$S$ là một hằng số và tính bán kinh đó

$2$ . Gọi

$I$ là tâm hình cầu

$S$ . Chứng tỏ rằng

$I$ thuộc một đường tròn cố định. Xác định tọa độ của tâm và bán kính đường tròn đó.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/24/2012 4:14:57 PM

$1$ . Ta có khoảng cách giữa

$2$ mặt phẳng song song

$\left( {{P_1}} \right);\left( {{P_2}} \right) = \frac{{|5 + 1|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2$
Mặt cầu

$S$ qua

$A$ tiếp xúc với

$2$ mặt phẳng

$\left( {{P_1}} \right);\left( {{P_2}} \right)$ có đường kính là khoảng cách giữa

$\left( {{P_1}} \right);\left( {{P_2}} \right)$ . Do đó bán kính mặt cầu bằng

$1$ , không đổi.

$2$ . Tâm của mặt cầu

$S$ nằm trên mặt phẳng

$(P)$ song song và cách đều

$\left( {{P_1}} \right);\left( {{P_2}} \right)$ , phương trình mặt phẳng

$(P)$ là:

$\left( P \right):2x - y + z + 2 = 0$ .
Mặt khác nếu

$I$ là tâm của hình cầu

$S$ thì

$IA = 1$ nên

$I$ thuộc mặt cầu

$\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1$ .
Như vậy

$I$ thuộc đường tròn cố định và giao điểm

$(P)$ và

$(C)$
Ta có

$\overrightarrow {{n_p}} = \left( {2, - 1,2} \right) \Rightarrow$ PT đường thẳng qua

$A$ và vuông góc với

$(P)$ là:

$\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 1 - t\\ z = 1 + 2t \end{array} \right.$
Giả sử

$B = d \cap \left( P \right)$ thế thì

$B\left( { - 1 + 2t,1 - t,1 + 2t} \right)$
Lại có

$B \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( { - 1 + 2t} \right) - \left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) + 2 = 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{9}$
Ta được

$B\left( { - \frac{{11}}{9},\frac{{10}}{9},\frac{7}{9}} \right)$ là tâm của đường tròn chứa

$I$ .

Bài 100698

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100698

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan