Bài 106498

Question

Cho hàm số: $y = \frac{{x^2 + (m + 1)x - m + 1}}{x - m}$
$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 2.$
$2.$ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị hàm số (với $m = 2$ ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số.
$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.

score 0 · Answer 1

$1.$ Xin dành cho bạn đọc.
$2.$ Xét $M\left( {{x_0};{x_0} + 5 + \frac{9}{{{x_0} - 2}}} \right)$ tùy ý trên đồ thị ($C$). Khoảng cách từ $M$ đến các đường tiệm cận $x – 2 = 0$ và $y – x – 5 = 0$ lần lượt là:
$\left\{ \begin{array}{l}
{h_1} = |{x_0} - 2|\\
h2 = \frac{{|{x_0} + 5 + \frac{9}{{{x_0} - 2}} - {x_0} - 5|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{9}{{\sqrt 2
|{x_0} - 2|}}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {h_1}{h_2} = \frac{9}{{\sqrt 2 }}$ không đổi.
$3)y' = \frac{{{x^2} - 2mx - {m^2} - 1}}{{{{(x - m)}^2}}}$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt.
$ \Rightarrow {x_{1,2}} = m \pm \sqrt {2{m^2} + 1} $ do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Nếu đồ thị không cắt trục hoành thì $ymax ;ymin$ trái dấu. Nếu đồ thị cắt trục hoành thì $ymax;ymin$ cùng dấu.
Vậy YCBT $\Leftrightarrow {x^2} + (m + 1)x - m + 1 = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt $ \ne m$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {m^2} + 6m - 3 > 0\\
{m^2} + (m + 1)m - m + 1 \ne 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < - 3 - \sqrt {12} \\
m > - 3 + \sqrt {12}
\end{array} \right.$

Bài 106498

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106498

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan