|
|
1.Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang
ĐỊNH NGHĨA 1
Đường thẳng y=y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y=f(x). nếu lim hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}
ĐỊNH NGHĨA 2
Đường thẳng x = {x_0} được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điêù kiện sau được thoả mãn \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = + \infty ;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = + \infty ; \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = - \infty ; \\ \end{gathered}
VÍ DỤ
Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thi hàm sốy = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}
Giải
Hàm số đã cho có tập hợp xác định \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}
Vì \mathop {\lim y=2}\limits_{x \to +\infty } và \mathop {\lim y=2}\limits_{x \to -\infty } nên đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi x \rightarrow + \infty và khi x \rightarrow - \infty )
Vì \mathop {\lim y=- \infty }\limits_{x \to (-2)^{+} } và \mathop {\lim
y=+ \infty }\limits_{x \to (-2)^{-} } nên đường thẳng y=2 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x \rightarrow (-2)^{-} và khi x \rightarrow (-2)^{+} )
2. Đường tiệm cận xiên
ĐỊNH NGHĨA 3
Đường thẳng y = {\text{ax}} + b\,\,(a \ne 0) được gọi là đường tiệm cận xiên ( gọi tắt tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \left[ {f(x) - ({\text{ax}} + b)} \right] = 0
hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \left[ {f(x) - ({\text{ax}} + b)} \right] = 0
Ví dụ: Đồ thị hàm số f(x) = x + \frac{x}{{{x^2} - 1}} có tiệm cận xiên ( khi x \to + \infty \,\& \,x \to - \infty ) là đường thẳng y=x vì \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{{x^2} - 1}} = 0\,\,\,\& \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = 0
CHÚ Ý
Để xác định các hệ số a,b trong phương trình của đường tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:
a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x};\,\,\,\,\,\,b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - ax} \right]
Hoặc a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(x)}}{x};\,\,\,\,\,\,b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - ax} \right]
(khi a = 0 thì ta có tiệm cận ngang)
|