Bài 100381

Question

Cho hàm số $y$ =$\frac{{x + 1}}{{x - 1}}$
$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
$2$. Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị ở phần 1.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/23/2012 5:40:35 PM

$1$. Bạn đọc tự giải

$2$. Xét $A(0, a)$$ \in Oy$. Đường thẳng qua $A$, hệ số góc $k$ có phương trình $y = kx + a$. Đường thẳng này là $1$ tiếp tuyến (qua $A$)
Hệ phương trình ẩn $x$ sau có nghiệm
$(H)$ $\left\{ \begin{array}{l}
kx + a = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1 + \frac{2}{{x - 1}}{\rm{   (1)}}\\
k = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{\rm{                       (2)}}
\end{array} \right.$

$(2) $$ \Leftrightarrow k\left( {x - 1} \right) = \frac{{ - 2}}{{x - 1}}{\rm{ (2')}}$
$(2’) – (1)$$ \Rightarrow a + k = 1 + \frac{4}{{x - 1}} \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{k + a - 1}}{4}$
Do đó $(H)$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x - 1}} = \frac{{k + a - 1}}{4}{\rm{    (3)}}\\
k = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{\rm{          (2)}}
\end{array} \right.$
$(H)$ có nghiệm $\Leftrightarrow$ $(3)$ có nghiệm thỏa mãn $(2)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k + a - 1 \ne 0\\
k = - 2.{\left( {\frac{{k + a - 1}}{4}} \right)^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k + a - 1 \ne 0\\
{\left( {k + a - 1} \right)^2} + 8k = 0{\rm{ }}
\end{array} \right.$
Đặt ${\left( {k + a - 1} \right)^2} + 8k$=$\varphi (k)$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}
8k \ne 0\\
\varphi (k) = {k^2} + 2(a + 3)k + {(a - 1)^2} = 0
\end{array} \right.$

Như vậy số tiếp tuyến kẻ được qua $A(0, a)$ đúng bằng số nghiệm khác $0$ của $\varphi (k)$.
Qua $A(0, a)$ kẻ được đúng một tiếp tuyến$ \Leftrightarrow \varphi (k)$ có duy nhất một nghiệm khác $0$ hoặc $\varphi (k)$ có nghiệm kép khác $0$ hoặc $\varphi (k)$ có $2$ nghiệm phân biệt trong đó $1$ nghiệm $= 0$.
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 8a + 8 = 0\\
\varphi (0) = {\left( {a - 1} \right)^2} \ne 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 8a + 8 > 0\\
\varphi (0) = {\left( {a - 1} \right)^2} = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.{\rm{   }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 1\\
a = - 1
\end{array} \right.$

Kết luận: trên trục tung chỉ có $2$ nghiệm thỏa mãn yêu cầu của bài toán là ${A_1}\left( {0,1} \right){\rm{ ; }}{A_2}\left( {0, - 1} \right)$

Bài 100381

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100381

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan