Bài 100381

Question

Cho hàm số

$y$ =

$\frac{{x + 1}}{{x - 1}}$

$1$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

$2$ . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị ở phần 1.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/23/2012 5:40:35 PM

$1$ . Bạn đọc tự giải

$2$ . Xét

$A(0, a)$

$\in Oy$ . Đường thẳng qua

$A$ , hệ số góc

$k$ có phương trình

$y = kx + a$ . Đường thẳng này là

$1$ tiếp tuyến (qua

$A$ )
Hệ phương trình ẩn

$x$ sau có nghiệm

$(H)$

$\left\{ \begin{array}{l} kx + a = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1 + \frac{2}{{x - 1}}{\rm{ (1)}}\\ k = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{\rm{ (2)}} \end{array} \right.$

$(2)$

$\Leftrightarrow k\left( {x - 1} \right) = \frac{{ - 2}}{{x - 1}}{\rm{ (2')}}$

$(2’) – (1)$

$\Rightarrow a + k = 1 + \frac{4}{{x - 1}} \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{k + a - 1}}{4}$
Do đó

$(H)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{k + a - 1}}{4}{\rm{ (3)}}\\ k = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{\rm{ (2)}} \end{array} \right.$

$(H)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow$

$(3)$ có nghiệm thỏa mãn

$(2)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k + a - 1 \ne 0\\ k = - 2.{\left( {\frac{{k + a - 1}}{4}} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k + a - 1 \ne 0\\ {\left( {k + a - 1} \right)^2} + 8k = 0{\rm{ }} \end{array} \right.$
Đặt

${\left( {k + a - 1} \right)^2} + 8k$ =

$\varphi (k)$

$\Leftrightarrow$

$\left\{ \begin{array}{l} 8k \ne 0\\ \varphi (k) = {k^2} + 2(a + 3)k + {(a - 1)^2} = 0 \end{array} \right.$

Như vậy số tiếp tuyến kẻ được qua

$A(0, a)$ đúng bằng số nghiệm khác

$0$ của

$\varphi (k)$ .
Qua

$A(0, a)$ kẻ được đúng một tiếp tuyến

$\Leftrightarrow \varphi (k)$ có duy nhất một nghiệm khác

$0$ hoặc

$\varphi (k)$ có nghiệm kép khác

$0$ hoặc

$\varphi (k)$ có

$2$ nghiệm phân biệt trong đó

$1$ nghiệm

$= 0$ .

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = 8a + 8 = 0\\ \varphi (0) = {\left( {a - 1} \right)^2} \ne 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = 8a + 8 > 0\\ \varphi (0) = {\left( {a - 1} \right)^2} = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ a = - 1 \end{array} \right.$

Kết luận: trên trục tung chỉ có

$2$ nghiệm thỏa mãn yêu cầu của bài toán là

${A_1}\left( {0,1} \right){\rm{ ; }}{A_2}\left( {0, - 1} \right)$

Bài 100381

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100381

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan