Bài 106164

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc $Oxyz$ cho hai điểm $S(0;0;1); A(1;1;0)$. Hai điểm $M(m;0;0)$ $N(0;n;0)$ thay đổi sao cho $ m + n = 1, n > 0,m>0$
$1, $Chứng minh rằng thể tích hình chóp $S.OAMN$ không phụ thuộc vào $m$ và $n.$
$2.$ Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SMN)$. Từ đó suy ra mặt phẳng $(SMN)$ tiếp xúc với một mặt cầu cố định.

score 0 · Answer 1

$1.$ Kẻ $AB$ vuông góc với $Ox, AC$ vuông góc $Oy.$
Ta được $OBAC$ là hình vuông cạnh bằng $1.$
Vì $OM + ON = m + n = 1$ nên: $MB + NC = 2 – (m + n) = 1$
$\begin{array}{l}
{S_{\Delta ABM}} + {S_{\Delta ACN}} = \frac{1}{2}AB.MB + \frac{1}{2}AC.NC\\
= \frac{1}{2}(MB + NC) = \frac{1}{2}
\end{array}$
Từ đó ta được:
$\begin{array}{l}
{S_{\Delta OAMN}} = {S_{OBAC}} - ({S_{\Delta ABM}} + {S_{\Delta CAN}}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\
= \frac{1}{3}SO.{S_{OAMN}} = \frac{1}{6}\,\,\,(dvdt)
\end{array}$
$2.$ Ta có phương trình mặt phẳng $SMN$ là:
$\begin{array}{l}
\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} = 1\\
\Leftrightarrow nx + my + mnz - nm = 0
\end{array}$
$\begin{array}{l}
d(A;(SMN) = \frac{{|n + m + mn|}}{{{n^2} + {m^2} + {m^2}{n^2}}}\\
{n^2} + {m^2} + {m^2}{n^2} = {(n + m)^2} - 2nm + {n^2}{m^2}\\
= 1 - 2nm + {n^2}{m^2} = {(1 - nm)^2}\\
d(A,(SMN)) =\frac{|1-mn|}{|1-mn|}=1
\end{array}$
Vậy mặt phẳng $(SMN)$ tiếp xúc với mặt cầu cố định tâm $A$, bán kính $1. $
Phương trình mặt cầu là: ${(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 1$

Bài 106164

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106164

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan