Bài 106072

Question

Cho tứ diện

$ABCD$ với

$A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)$
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
c) Tính thể tích của tứ diện ABCD

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/29/2012 3:32:11 PM

a)

$A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)$
Ta có:

$\begin{array}{l} AB = \sqrt {{5^2} + {0^2} + {{10}^2}} = 5\sqrt 5 \\ BC = \sqrt {{8^2} + {0^2} + {4^2}} = 4\sqrt 5 \\ AC = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {6^2}} = 3\sqrt 5 \end{array}$
Do đó:

$B{C^2} + A{C^2} = {(4\sqrt 5 )^2} + {(3\sqrt 5 )^2} = 125 = A{B^2}$
Vậy

$ABC$ là tam giác vuông

b) Ta biết :

$\begin{array}{l} {S_{\Delta ABC}} = pr \Leftrightarrow r = \frac{S}{p}\\ mà \,{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}4\sqrt 5 .3\sqrt 5 = 30\,\,\,\\ và \,\,2p = (AB + BC + AC) = (5\sqrt 5 + 4\sqrt 5 + 3\sqrt 5 ) = 12\sqrt 5 \\ \Rightarrow r = \frac{{30}}{{6\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \end{array}$

c) Ta có:

$\overrightarrow {CA} = ( - 3;0;6),\,\,\overrightarrow {CB} = ( - 8;0;4) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {CA} {\rm{,}}\overrightarrow {CB} {\rm{] = (0; - 60;0) = - 60(0;1;0)}}$
Suy ra mặt phẳng

$(ABC)$ có vecto pháp tuyến

${\overrightarrow n_{{AB} C}} = (0;1;0)$ , do đó phương trình mặt phẳng (ABC) là

$y+1=0$
Khoảng cách ừ

$D(1;2;1)$ đến mặt phẳng

$(ABC)$ là:

$h = d(D,ABC) = \frac{{|2 + 1|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = 3$
Thể tích tứ diện ABCD là:

${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}h.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}3.30 = 30$ (đvdt)

Bài 106072

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106072

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan