Bài 105881

Question

Cho hàm số:

$f(x) = x^n + (c - n)^n$ . Trong đó

$c > 0$ , và

$n$ là một số nguyên dương lớn hơn

$1$ .
a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số đó.
b) Từ kết quả ấy, chứng minh bất đẳng thức:

${( {\frac{{a + b}}{2}} )^n} \le \frac{{{a^n} + {b^n}}}{2}$
Với

$a, b$ là hai số tùy ý thỏa mãn điều kiện

$a + b \ge 0$ còn

$n$ là số nguyên dương bất kỳ

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/28/2012 8:46:50 AM

a) Hàm số được xác định với mọi

$x$ .

$f'(x) = n{x^{n - 1}} - n{(c - x)^{n - 1}} = n\left[ {{x^{n - 1}} - {{(c - x)}^{n - 1}}} \right]$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^{n - 1}} = {(c - x)^{n - 1}} \Leftrightarrow x = c/2$ ( do

$c > 0$ ).

$f''(x) = n(n - 1){x^{n - 2}} + n(n - 1){(c - x)^{n - 2}} = n(n - 1)\left[ {{x^{n - 2}} + {{(c - x)}^{n - 2}}} \right]$ ,

$f''(c/2) = n(n - 1){(c/2)^{n - 2}} > 0$ ,
Suy ra

$f(x)$ đạt cực tiểu tại

$x = \frac{c}{2}{\rm{ }}\left( {f\left( {\frac{c}{2}} \right) = 2{{\left( {\frac{c}{2}} \right)}^n}} \right)$
Và ta có bảng biến thiên:

b) Kết quả khảo sát trên chứng tỏ với mọi

$x$ và

$c > 0$ ta luôn có

${x^n} + {(c - x)^n} \ge 2{(c/2)^n}$

$(1)$
Đặt

$x = a,{\rm{ c}} = a + b$ , trong đó a, b là hai số tùy ý sao cho

$a + b > 0$ thì

$(1)$ trở thành

${a^n} + {b^n} \ge 2{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n} \Leftrightarrow \frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}$ .
Trường hợp

$a + b = 0$ : bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Bài 105881

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105881

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan