Bài 105748

Question

Biết

$a < b < c$ . Xem hàm số

$y = (x - a)(x - b)(x - c)$
1) Chứng tỏ rằng y có cực đại và cực tiểu.
2) Xác định vị trí hoành độ của cực đại và cực tiểu đối với

$a, b, c$ .
3) Giả sử

$b = 0$ . Tìm liên hệ giữa

$a, c$ để điểm uốn của đồ thị nằm trên đường cong

$y = {x^3}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 4:18:26 PM

$1)$ Hàm số xác định với mọi

$x$ , ta có

$y' = (x - a)(x - b) + (x - a)(x - c) + (x - b)(x - c)$

$= 3{x^2} - 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc)$

$(1)$
Và

$\Delta ' = {(a + b + c)^2} - 3(ab + ac + bc)$

$= {a^2} + {b^2} + {c^2} - (ab + ac + bc)$

$= (b - a)(c - a) + {(c - b)^2} > 0$ (do

$a < b < c$ ),
suy ra y đạt cực đại và cực tiểu tại

${x_1},{x_2}$ trong đó

${x_1},{x_2}{\rm{ (}}{{\rm{x}}_1} < {x_2})$ là nghiệm của

$(1)$ .

$2)$ Lần lượt thế

$x = a,{\rm{ }}x = b,{\rm{ x}} = c$ vào biểu thức

$(1)$ ta có:

$\begin{array}{l} y'(a) = (a - b)(a - c) > 0,\\ y'(b) = (b - a)(b - c) < 0,\\ y'(c) = (c - a)(c - b) > 0. \end{array}$
( do

$a < b < c$ )

$\Rightarrow a < {x_1} < b < {x_2} < c$ .

$3)$ Với

$b = 0$ ta có

$\begin{array}{l} y = x(x - a)(x - c),\\ y' = 3{x^2} - 2(a + c)x + ac,\\ y'' = 6x - 2(a + c);\\ y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 2(a + c) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{a + c}}{3} \end{array}$
Suy ra hoành độ điểm uốn của đồ thị là

$x = \frac{{a + c}}{3}$ .
Do điểm uốn nằm trên đường cong

$y = {x^3}$ nên ta có

${\left( {\frac{{a + c}}{3}} \right)^3} = \frac{{a + c}}{3}\left( {\frac{{a + c}}{3} - a} \right)\left( {\frac{{a + c}}{3} - c} \right)$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (a + c)\left[ {{{(a + c)}^2} - (c - 2a)(a - 2c)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow (a + c)({a^2} + {c^2} - ac) = 0 \end{array}$
a)

$a + c = 0$
b)

${a^2} + {c^2} - ac = 0 \Rightarrow a = c = 0$ (do

$a < 0 < c$ ) : loại.
Vậy liên hệ phải tìm là

$a + c = 0$ .
Kết quả này vẫn đúng cả khi

$a = b = c = 0$ , khi đó hàm số sẽ không có cực đại và cực tiểu

Bài 105748

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105748

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan