|
|
1) Viết lại biểu thức hàm số dưới dạng:
y=(m+1)x+m2−m+2x−m
Từ đó ta có:
y′=(m+1)−2(x−m)2=(m+1)(x−m)2−2/(m+1)(x−m)2 (do m+1≠0 ).
Do đó để hàm số có cực đại, cực tiểu thì 2/(m+1)>0⇔m>−1.
Để hoành độ điểm cực đại, cực tiểu thuộc khoảng (0,2) cần có (đặt f(x)=(x−m)2−2/(m+1))
{f(0)>0f(2)>00<S/2<2⇔{m−2/(m+1)>0(2−m)2−2/(m+1)>00<m<2
⇔{(m−1)(m2+2m+2)/(m+1)>0(m−1)(m2−2m−2)/(m+1)>00<m<2
⇔{m<−1,m>1m<−1,1−√3<m<1,m>1+√30<m<2: hệ này vô nghiệm.
Vậy không tòn tại m thỏa mãn đầu bài.
2) Vì lim nên y = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Giả sử parabol y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right) cố định luôn tiếp xúc với tiệm cận xiên. Khi đó hệ sau luôn có nghiệm với mọi m:
\left\{ \begin{array}{l} a{x^2} + bx + c = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m{\rm{ (1)}}\\ 2ax + b = m + 1{\rm{ (2)}} \end{array} \right.
Nhân (2) với x, thế vào (1) ta có:
c = a{x^2} + {m^2} - m (3)
Từ (2) ta có x = \left( {m + 1 - b} \right)/2a, rồi thế vào (3) ta có:
c = a{\left( {\frac{{m + 1 - b}}{{2a}}} \right)^2} + {m^2} - m
\Leftrightarrow \left( {1 + 4a} \right){m^2} + 2\left( {1 - b - 2a} \right)m + \left( {1 - 2b + {b^2} - 4ac} \right) = 0 (4)
(4) đúng với mọi m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 + 4a = 0\\ 1 - b - 2a = 0\\ 1 - 2b + {b^2} - 4ac = 0 \end{array} \right.
Giải ra ta có: a = - 1/4,b = 3/2,c = - 1/4.
Vậy parabol phải tìm là
y = \left( { - 1/4} \right){x^2} + \left( {3/2} \right)x - 1/4.
3) *Đồ thị hàm số có tiệm cần đứng x = m, tiệm cận xiên y = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m.
Dễ nhận thấy rằng tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do đó tâm đối xứng có tọa độ \left( {m,2{m^2}} \right).
Tâm đối xứng nằm trên parabol y = {x^2} + 1 khi và chỉ khi 2{m^2} = {m^2} + 1 \Leftrightarrow {m^2} = 1. Lại do m \ne 1 nên m = 1 là giá trị cần tìm.
* Vẽ đồ thị khi m = 1 dành cho bạn đọc.
4) Giả sử các điểm cần tìm có dạng \left( {{x_0},0} \right), tiếp tuyến với đồ thị hàm số ở phần 3 đi qua điểm \left( {{x_0},0} \right) có dạng y = k\left( {x - {x_0}} \right). Gọi hoành độ tiếp điểm {x_1}. Khi đó k = y'\left( {{x_1}} \right) = 2 - \frac{2}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}}. Bài toán dẫn đến tìm {x_0} để phương trình:
2{x_1} - \frac{2}{{{x_1} - 1}} = k\left( {{x_1} - {x_0}} \right) (1)
Có nghiệm {x_1} duy nhất \ne 1 .
(1) \Leftrightarrow 2{x_1} - \frac{2}{{{x_1} - 1}} = \left[ {2 - \frac{2}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {{x_1} - {x_0}} \right)
{x_0}x_1^2 + 2\left( {1 - {x_0}} \right){x_1} - 1 = 0 (2)
a) {x_0} = 0 ta có 2{x_1} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1/2 là nghiệm duy nhất của (2).
b) {x_1} = 1 là nghiệm của (2), gọi nghiệm kia là {x_2} ta có (theo định lý Viet)
1.{x_2} = - {x_0},1 + {x_2} = \frac{{{x_0} - 1}}{{{x_0}}} \Rightarrow 1 - {x_0} = \frac{{{x_0} - 1}}{{{x_0}}} \Rightarrow {x_0} = 1, do đó {x_2} = - 1 là một nghiệm duy nhất của (2).
c) {x_0} \ne 0,{x_0} \ne 1 ta có \Delta ' = {\left( {1 - {x_0}} \right)^2} + {x_0} = x_0^2 - {x_0} + 1 > 0 \Rightarrow (2) có nghiệm không duy nhất.
Vậy các điểm cần tìm là : (0, 0), (1, 0)
|
|
|
Đăng bài 25-05-12 02:35 PM
|
|