|
|
$a.$ Mặt phẳng $(HKI)$ có các véctơ chỉ phương
$\overrightarrow{HK} =(\frac{-1}{2} ,\frac{1}{2},0 )$ và $ \overrightarrow{HI} =(\frac{1}{2},1 ,\frac{1}{3})$ do đó $(KHI)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{HK}; \overrightarrow{HI} ] $
$ \Rightarrow \overrightarrow{n} =(\frac{1}{6} ,\frac{1}{6},\frac{-3}{4} ).$
Mặt phẳng $(HKI)$ qua $H(\frac{1}{2},0,0 )$ và có véc tơ pháp tuyến
$\overrightarrow{n} =(\frac{1}{6} ,\frac{1}{6},\frac{-3}{4} )$ nên $(HKI)$ có phương trình tổng quát :
$\frac{1}{6}(x-\frac{1}{2} )+\frac{1}{6}y-\frac{3}{4}z=0 $
$ \Leftrightarrow 2x+2y-9z-1=0$
Giao tuyến của $(HKI)$ với mặt phẳng $x+z=0$ có phương trình tổng quát là :
$\begin{cases}2x+2y-9z-1=0 \\ x+z=0\,\,\,(\alpha ) \end{cases} $ $\overrightarrow{n}_{(HIK)}; \overrightarrow{n}_{(\alpha )}=(1;0;1) $và như vậy giao tuyến có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{\alpha }=[\overrightarrow{n}_{(HIK)};\overrightarrow{\alpha } ] =(2,-11,-2)$
Dễ thấy điểm $K(0,\frac{1}{2},0 )$ thuộc cả $2$ mặt phẳng $(KHI)$ và $x+z=0$ nên giao tuyến của $(HKI)$ và $x+z=0$ là đường thẳng qua $K(0,\frac{1}{2},0 )$ với véctơ chỉ phương $\overrightarrow{\alpha } =(2,-11,-2)$ nên có phương trình chính tắc:
$\frac{x-0}{2}=\frac{y-\frac{1}{2} }{-11} =\frac{z-0}{-2} \Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{y-\frac{1}{2} }{-11} =\frac{z}{-2} $
$b.$ $(HKI)$ có phương trình $2x+2y-9z-1=0$
$(Oxy)$ có phương trình $z=0,$ vì vậy góc phẳng $\varphi$ tạo bởi mặt phẳng $(HKI)$ và mặt phẳng $(Oxy)$ có
$cos\varphi=\frac{|0+0-9|}{\sqrt{4+4+81}.\sqrt{0+0+1} } =\frac{9}{\sqrt{89} } $
|