Bài 100222

Question

Cho hàm số $y=f(x)=2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1 (1)$
$a.$ Tìm quỹ tích điểm uốn.
$b.$ Tìm quĩ tích điểm cực đại
$c.$ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.

score 0 · Answer 1

a. $ {\rm{y' }} = {\rm{ 6}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 6}}\left( {{\rm{2m }} + {\rm{ 1}}} \right){\rm{ x }} + {\rm{ 6m}}\left( {{\rm{m }} + {\rm{ 1}}} \right) $
$ {\rm{y''}} = {\rm{12x - 6}}\left( {{\rm{2m + 1}}} \right)$
${\rm{ y''}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2m + 1}}{2} $
y” đổi dấu khi x biến thiên qua $\frac{2m+1}{2}$.
Vậy điểm uốn là $ U\left( {\frac{{2m + 1}}{2},f\left( {\frac{{2m + 1}}{2}} \right)} \right) $ .
Từ $ x = \frac{{2m + 1}}{2} $ suy ra $ m = \frac{{2x - 1}}{2} $ , thay vào phương trình y = f(x) ta thu được $ y = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1. $
Vậy quĩ tích điểm uốn là đồ thị hàm số $ y = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1. $

b. $ {\rm{y' }} = {\rm{ 6}}\left[ {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}\left( {{\rm{2m }} + {\rm{ 1}}} \right){\rm{x }} + {\rm{ m }}\left( {{\rm{m }} + {\rm{ 1}}} \right)} \right]$
${\rm{ y' }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = m\\
x = m + 1
\end{array} \right. $
Đó là hai nghiệm phân biệt và rõ ràng
$y’(x) < 0 \forall x \in (m, m + 1)$
$y’(x) > 0 \forall {\rm{x }} \in ( - \infty ,{\rm{ m}}) \bigcup ({\rm{m }} + {\rm{ 1}},{\rm{ + }}\infty ) $

Vậy hàm luôn có cực đại và cực tiểu tại x = m và x = m + 1 tương ứng.
Điểm cực đại là (m, f(m)). Khử m bằng cách thay m = x, vào (1) ta được $y = 2x^3 + 3x^2 + 1$.
Vậy đồ thị của hàm $y = 2x^3 + 3x^2 + 1$ là quĩ tích các điểm cực đại của hàm số khi m thay đổi.

c. Trung điểm của đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu là điểm uốn, mà quĩ tích đã biết ở câu a.

Bài 100222

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100222

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan