Bài 112709

Question

Cho $y = (\sin x +\cos x )^3 + \frac{ 1}{\sin ^2 x \cos ^2 x } $
Tìm $max y , min y.$

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/20/2012 4:49:30 PM

Xác định khi $\sin ^2x \cos^2 x \neq 0$
      $\Leftrightarrow \frac{ 1}{ 4} \sin ^2 2x \neq0 \Leftrightarrow \sin 2x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{ k\pi}{ 2} $
Tập xác định của hàm số là $D = R     $ \ $ \left\{ {\frac{ k\pi}{ 2} } \right\}$
Với $x \in D: \sin x +\cos x = \sqrt{2} \cos \left ( x - \frac{ \pi}{ 4} \right ) \geq -\sqrt{2} $
$( \sin x +\cos x )^3 \geq -2 \sqrt{2} ,    \forall x \in D   (1). $
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\cos \left ( x-\frac{ \pi}{ 4} \right ) = -1 \Leftrightarrow x = \frac{5\pi }{ 4} + 2k\pi \in D$
Ta lại có : $\sin ^2 x \cos ^2 x = \frac{ 1}{ 4} \sin ^2 2x \leq \frac{ 1}{ 4} .$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\sin ^2 2x =1 \Leftrightarrow \cos 2x =0 \Leftrightarrow x = \frac{ \pi}{ 4} +\frac{ k\pi}{ 2} \in D$
Vậy $\frac{ 1}{\cos ^2 x \cos ^2 x } \geq 4    (2) $
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{ 5\pi}{ 4} +2k\pi$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được : $y \geq 4-2 \sqrt{2} $ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{ 5\pi}{4 }+ 2k\pi$
$Min y = 4 - 2 \sqrt{2} $ đạt được khi $x=\frac{ 5\pi}{ 4} +2k\pi$
Do $\mathop {\lim y }\limits_{x \to 0}=+\infty$ nên không tồn tại $\max y$

Bài 112709

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112709

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan