Bài 104875

Question

Chứng minh rằng hàm số $y=\sin^2x-14\sin x\cos x-5\cos^2x+3\sqrt[2]{33}$. Chỉ nhận giá trị dương

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/19/2012 10:22:34 AM

$y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x - 14 }}\sin {\rm{x}}c{\rm{osx - 5co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{x + 3}}\sqrt[3]{{33}}$
    $ = 1 - \frac{{c{\rm{os}}2{\rm{x}}}}{2} - 7\sin 2{\rm{x - }}\frac{{5\left( {1 + c{\rm{os}}2{\rm{x}}} \right)}}{2} + 3\sqrt[3]{{33}}$
    $ = - 7\sin 2{\rm{x - 3cos}}2{\rm{x}} + 3\sqrt[2]{{33}} - 2$
    $ = - \sqrt {58} \left( {\frac{7}{{\sqrt {58} }}\sin 2{\rm{x + }}\frac{3}{{\sqrt {58} }}c{\rm{os}}2{\rm{x}}} \right) + 3\sqrt[2]{{33}} - 2$
    $ = - \sqrt {58} \sin \left( {2{\rm{x}} + \alpha } \right) + 3\sqrt[3]{{33}} - 2 \ge - \sqrt {58} + 3\sqrt[3]{{33}} - 2$
Trong đó
    $c{\rm{os}}\alpha = \frac{7}{{\sqrt {58} }},\sin \alpha = \frac{3}{{\sqrt {58} }}$
Từ đó suy ra ${y_{\min }} = - \sqrt {58} + 3\sqrt[3]{{33}} - 2$, đạt được khi $\sin \left( {2{\rm{x}} + \alpha } \right) = 1$, tức là khi $x = \frac{\pi }{4} - \frac{\alpha }{4} + k\pi $

Mặt khác, $3\sqrt[3]{{33}} > 2 + \sqrt {58} \Leftrightarrow 27.33 > 8 + 12\sqrt {58} + 6.58 + 58\sqrt {58} $
$ \Leftrightarrow 109 > 14.\sqrt {58} \Leftrightarrow 11881 > 11368$    ( đúng)
Do đó ${y_{\min }} > 0$

Bài 104875

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104875

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan