Bài 111419

Question

Viết phương trình mặt cầu có tâm $I(2;3;-1)$ và cắt đường thẳng :
$d:\begin{cases}5x-4y+3z+20=0 \\ 3x-4y+z-8=0 \end{cases}$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB=16$.

score 0 · Answer 1

Kẻ $IH\bot AB$ thì $HA=HB=8$.

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là:
$\overrightarrow{u}=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-4}}&{{3}}\\
{{-4}}&{{1}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{3}}&{{5}}\\
{{1}}&{{3}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{5}}&{{-4}}\\
{{3}}&{{-4}}
\end{array}} \right|)=(8;4;-8)// (2;1;-2)$.
Ngoài ra $d$ đi qua điểm $M(11;0;-25)$. Từ đó: $IH=d(I,d)=\frac{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{IM}]|}{|\overrightarrow{u}|}$
Do $\overrightarrow{IM}=(9;-3;-24) $ nên $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{IM}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{1}}&{{-2}}\\
{{-3}}&{{-24}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-2}}&{{2}}\\
{{-24}}&{{9}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2}}&{{1}}\\
{{9}}&{{-3}}
\end{array}} \right|)=(-30;30;-15)$
Vậy $IH=\frac{\sqrt{(-30)^2+30^2+(-15)^2}}{3}=15$
Do đó bán kính $R$ của hình cầu là : $R=\sqrt{IH^2+HA^2}=\sqrt{225+64}=17$.
Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình là : $(x-2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=289$.

Bài 111419

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111419

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan