Bài 110841

Question

Trong không gian

$Oxyz$ cho đường thẳng

$\Delta: \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng

$(P): x+y+z-3=0$ . Gọi

$I$ là giao điểm của

$\Delta$ với

$(P)$ . Tìm tất cả các điểm

$M\in (P)$ sao cho

$MI$ vuông góc với

$\Delta$ và

$MI=4\sqrt{14}$

score 0 · Answer 1

Tọa độ

$(x;y;z)$ của giao điểm

$I$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{cases}\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1} \\ x+y+z-3=0 \end{cases}\Leftrightarrow I=(1;1;1)$
Giả sử

$M(x_0;y_0;z_0)\in (P)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài:
Ta có:

$\overrightarrow{MI}=(x_0-1;y_0-1;z_0-1).$ Vectơ chỉ phương

$\overrightarrow{u_{\Delta}}=(1;-2;-1)$
Do

$MI\bot \Delta$

$\Leftrightarrow MI\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}\Leftrightarrow x_0-1-2(y_0-1)-(z_0-1)=0\Leftrightarrow x_0-2y_0-z_0+2=0$

$MI=4\sqrt{14} \Leftrightarrow MI^2=224\Leftrightarrow (x_0-1)^2+(y_0-1)^2+(z_0-1)^2=224$
Vậy ta có hệ phương trình sau để xác định

$x_0;y_0;z_0:$

$\begin{cases}x_0+y_0+z_0-3=0 \\ x_0-2y_0-z_0+2=0 \\ (x_0-1)^2+(y+0-1)^2+(z_0-1)^2=224 \end{cases}$
Giải hệ ta có:

$\left[ \begin{array}{l}x _0=5; y_0=9;z_0=-11\\x_0=-3; y_0=-7; z_0=13\end{array} \right.$
Vậy có hai điểm cần tìm :

$M_1(5;9;-11)$ và

$M_2(-3;-7;13)$ .

1 Đáp án