Bài 107310

Question

Cho tam giác đều

$SAD$ và hình vuông

$ABCD$ cạnh

$a$ nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi

$I$ là trung điểm của

$AD, M$ là trung điểm của

$AB, F$ là trung điểm của

$SB$
a) Chứng minh rằng mặt phẳng

$(CMF)\bot (SIB)$
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

$AB$ và

$SD$ , giữa

$CM$ và

$SA$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/8/2012 9:18:50 AM

a) Chọn hệ trục tọa độ

$Oxyz$ như sau:
- Gốc

$O\equiv I$ , trục

$Ox$ đi qua

$IA$ , trục

$Oy$ song song với

$AB$ , trục

$Oz$ đi qua

$IS$
khi đó:

$I(0;0;0), A(\frac{a}{2},0;0 ),B(\frac{a}{2};a;0 ), C(-\frac{a}{2};a;0 ),S(0;0;\frac{a\sqrt{3} }{2} ), \\M(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0 ), F(\frac{a}{4};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3} }{4} )$
Mặt phẳng

$(CMF)$ có cặp vecto chỉ phương là:

$\overrightarrow{CM}=(a;-\frac{a}{2};0 )$ hay

$(2;-1;0)$ và

$\overrightarrow{CF}=(\frac{3a}{4};-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3} }{4} )$ hay

$(3;-2;\sqrt{3} )$

$\Rightarrow$ vecto pháp tuyến của

$(CMF)$ là

$\overrightarrow{n}_1=[\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CF} ]=(-\sqrt{3};-2\sqrt{3};-1 )$
Mặt phẳng

$(SIB)$ có cặp vecto chỉ phương

$\overrightarrow{IS}=(0;0;\frac{a\sqrt{3} }{2} )$ hay

$(0;0;1)$

$\overrightarrow{IB}=(\frac{a}{2};a;0 )$ hay

$(1;2;0)$

$\Rightarrow$ Vecto pháp tuyến của

$(SIB)$ là

$\overrightarrow{n}_2=[\overrightarrow{IS},\overrightarrow{IB} ]=(-2;1;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n}_1.\overrightarrow{n}_2 =2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+0=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1 \bot \overrightarrow{n}_2$
vậy

$(CMF)\bot (SIB)$ (đpcm)

b) Ta có:

$AB//CD\Rightarrow AB//(SCD)$ chứa

$SD$

$\Rightarrow$ Khoảng cách giữa

$AB$ và

$SD$ là khoảng cách từ

$A$ đến

$mp(SCD)$
Ta có:

$\overrightarrow{SC} =(-\frac{a}{2};a;-\frac{a\sqrt{2} }{2} )$ hay

$(-1;2;-\sqrt{3} )$

$\overrightarrow{SD}=(-\frac{a}{2};0;-\frac{a\sqrt{3} }{2} )$ hay

$(1;0;\sqrt{3} )$
Vecto pháp tuyến của

$(SCD)$ là

$\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD} ] =(2\sqrt{3};0;-2 )$

$\Rightarrow (SCD):2\sqrt{3}x-2(z-\frac{a\sqrt{3} }{2} ) =0\Leftrightarrow 2\sqrt{3}x-2z+a\sqrt{3}=0$

$d(AB,SD)=d(A,(SCD))=\frac{|a\sqrt{3} +a\sqrt{3} |}{\sqrt{16} }\frac{a\sqrt{3} }{2}$
Ta có:

$SA//MF\Rightarrow SA//(CMF)$ chứa

$CM$
Khoảng cách giữa

$SA$ và

$CM$ là khoảng cách từ

$A$ đến mặt phẳng

$(CMF)$
Mặt phẳng

$(CMF)$ có vecto pháp tuyến là

$\overrightarrow{n}_1=(\sqrt{3};2\sqrt{3};1 )$

$\Rightarrow (CMF):\sqrt{3}(x+\frac{a}{2} )+2\sqrt{3}y+z=0 \Leftrightarrow \sqrt{3}x+2\sqrt{3}y+z+\frac{a\sqrt{3} }{2}=0$

$d(SA,CM)=d(A,(CMF))=\frac{|\frac{a\sqrt{3} }{2}+\frac{a\sqrt{3} }{2} |}{\sqrt{16} } =\frac{a\sqrt{3} }{4}$

Bài 107310

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107310

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan