Bài 107831

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a, SO\bot (ABCD), SO= \frac{a\sqrt{2} }{2} $. Trên cạnh $SC$ lấy một điểm $M$ với $SM=x(0<x<a)$. Mặt phẳng $(ABM)$ cắt cạnh $SD$ ở $N$
a) Chứng minh rằng $ABMN$ là một hình thang cân. Tính diện tích hình thang $ABMN$ theo $a$ và $x$
b) Định $x$ để mặt phẳng $(ABMN)$ vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/12/2012 10:15:49 AM

a) Ta có: $AB//CD\Rightarrow AB//(SCD)\Rightarrow (ABM)$ cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $MN//AB\Rightarrow MN//CD\Rightarrow CM=DN\Rightarrow \\\Delta ADN=\Delta BCM\Rightarrow AN=BM$
Vậy $ABMN$ là hình thang cân
Ta có: $\frac{Mn}{CD}=\frac{SM}{SC}, OA=OC=\frac{a\sqrt{2} }{2}   $
mà $SC=\sqrt{OS^2+OC^2} =\sqrt{\frac{2a^2}{4}+\frac{2a^2}{4} } =a\Rightarrow MN=\frac{a.x}{a} =x$

Gọi $I$ là trung điểm của $AB, J$ là trung điểm $MN,   K$ là trung điểm $CD$
$\Delta SCD$ đều $\Rightarrow SK=\frac{a\sqrt{3} }{2} ;   \Delta SBC$ đều $\Rightarrow \widehat{SCB}=60^0$
$\Rightarrow BM^2=CB^2+CM^2-2CB.CMcos60^0$
$=a^2+(a-x)^2-2a(z-x).\frac{1}{2}=x^2-ax+a^2 $
Vẽ $MH\bot AB\Rightarrow HB=\frac{a-x}{2} $
Ta có: $MH^2=MB^2-BH^2=x^2-ax+a^2-(\frac{a-x}{2} )^2 =\frac{3x^2-2ax+3a^2}{4} $
$\Rightarrow MH=\frac{\sqrt{3x^2-2ax+3a^2} }{2} $
$\Rightarrow S_{ABMN}=\frac{1}{2}(AB+MN).MH=\frac{1}{4}(a+x).\sqrt{3x^2-2ax+3a^2} (đvdt) $

b) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau:
- Gốc $O$ là tâm hình vuông $ABCD$
- Trục $Ox$ đi qua $OA$
- Trục $Oy$ đi qua $OB$
- Trục $Oz$ đi qua $OC$
Khi đó: $A(\frac{a\sqrt{2} }{2};0;0 ), C(-\frac{a\sqrt{2} }{2};0;0), B(0;\frac{a\sqrt{2} }{2};0), D(0;-\frac{a\sqrt{2} }{2};0), S(0;0;\frac{a\sqrt{2} }{2})$
$\Rightarrow \overrightarrow{SC}=(-\frac{a\sqrt{2} }{2};0;-\frac{a\sqrt{2} }{2}) $
$ \Rightarrow M\left( { - \frac{{x\sqrt 2 }}{2};0;(a - x)\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$
Mặt phẳng $(ABMN)$ có cặp vecto chỉ phương
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\,\,\,hay\,\,( - 1;1;0)\\
\overrightarrow {BM} = \left( { - \frac{{x\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};(a - x)\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\,\,hay\,\,( - x; - a;a - x)
\end{array}$
$\Rightarrow $ vecto pháp tuyến của $(ABMN): \overrightarrow{n}_1=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BM} ]=(a-x;a-x;a+x) $
Mặt phẳng $(SCD)$ có cặp vecto chỉ phương
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {SC} = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\,\,\,hay\,\,( - 1;0; - 1)\\
\overrightarrow {SD} = \left( {0; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\,\,hay\,\,(0; - 1; - 1)
\end{array}$
$\Rightarrow $ vecto pháp tuyến của $(SCD):\overrightarrow{n}_2=[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD} ]=(-1;-1;1) $
Để $(ABMN)\bot (SCD)$ thì $\overrightarrow{n}_1.\overrightarrow{n}_2 =0 $
$\Leftrightarrow -a+x-a+x+a+x=0\Leftrightarrow 3x=a\Leftrightarrow x=\frac{a}{3} $

Bài 107831

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107831

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan