Bài 107831

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình vuông tâm

$O$ , cạnh

$a, SO\bot (ABCD), SO= \frac{a\sqrt{2} }{2}$ . Trên cạnh

$SC$ lấy một điểm

$M$ với

$SM=x(0<x<a)$ . Mặt phẳng

$(ABM)$ cắt cạnh

$SD$ ở

$N$
a) Chứng minh rằng

$ABMN$ là một hình thang cân. Tính diện tích hình thang

$ABMN$ theo

$a$ và

$x$
b) Định

$x$ để mặt phẳng

$(ABMN)$ vuông góc với mặt phẳng

$(SCD)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/12/2012 10:15:49 AM

a) Ta có:

$AB//CD\Rightarrow AB//(SCD)\Rightarrow (ABM)$ cắt

$(SCD)$ theo giao tuyến

$MN//AB\Rightarrow MN//CD\Rightarrow CM=DN\Rightarrow \\\Delta ADN=\Delta BCM\Rightarrow AN=BM$
Vậy

$ABMN$ là hình thang cân
Ta có:

$\frac{Mn}{CD}=\frac{SM}{SC}, OA=OC=\frac{a\sqrt{2} }{2}$
mà

$SC=\sqrt{OS^2+OC^2} =\sqrt{\frac{2a^2}{4}+\frac{2a^2}{4} } =a\Rightarrow MN=\frac{a.x}{a} =x$

Gọi

$I$ là trung điểm của

$AB, J$ là trung điểm

$MN, K$ là trung điểm

$CD$

$\Delta SCD$ đều

$\Rightarrow SK=\frac{a\sqrt{3} }{2} ; \Delta SBC$ đều

$\Rightarrow \widehat{SCB}=60^0$

$\Rightarrow BM^2=CB^2+CM^2-2CB.CMcos60^0$

$=a^2+(a-x)^2-2a(z-x).\frac{1}{2}=x^2-ax+a^2$
Vẽ

$MH\bot AB\Rightarrow HB=\frac{a-x}{2}$
Ta có:

$MH^2=MB^2-BH^2=x^2-ax+a^2-(\frac{a-x}{2} )^2 =\frac{3x^2-2ax+3a^2}{4}$

$\Rightarrow MH=\frac{\sqrt{3x^2-2ax+3a^2} }{2}$

$\Rightarrow S_{ABMN}=\frac{1}{2}(AB+MN).MH=\frac{1}{4}(a+x).\sqrt{3x^2-2ax+3a^2} (đvdt)$

b) Chọn hệ trục tọa độ

$Oxyz$ như sau:
- Gốc

$O$ là tâm hình vuông

$ABCD$
- Trục

$Ox$ đi qua

$OA$
- Trục

$Oy$ đi qua

$OB$
- Trục

$Oz$ đi qua

$OC$
Khi đó:

$A(\frac{a\sqrt{2} }{2};0;0 ), C(-\frac{a\sqrt{2} }{2};0;0), B(0;\frac{a\sqrt{2} }{2};0), D(0;-\frac{a\sqrt{2} }{2};0), S(0;0;\frac{a\sqrt{2} }{2})$

$\Rightarrow \overrightarrow{SC}=(-\frac{a\sqrt{2} }{2};0;-\frac{a\sqrt{2} }{2})$

$\Rightarrow M\left( { - \frac{{x\sqrt 2 }}{2};0;(a - x)\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$
Mặt phẳng

$(ABMN)$ có cặp vecto chỉ phương

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\,\,\,hay\,\,( - 1;1;0)\\ \overrightarrow {BM} = \left( { - \frac{{x\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};(a - x)\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\,\,hay\,\,( - x; - a;a - x) \end{array}$

$\Rightarrow$ vecto pháp tuyến của

$(ABMN): \overrightarrow{n}_1=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BM} ]=(a-x;a-x;a+x)$
Mặt phẳng

$(SCD)$ có cặp vecto chỉ phương

$\begin{array}{l} \overrightarrow {SC} = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\,\,\,hay\,\,( - 1;0; - 1)\\ \overrightarrow {SD} = \left( {0; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\,\,hay\,\,(0; - 1; - 1) \end{array}$

$\Rightarrow$ vecto pháp tuyến của

$(SCD):\overrightarrow{n}_2=[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD} ]=(-1;-1;1)$
Để

$(ABMN)\bot (SCD)$ thì

$\overrightarrow{n}_1.\overrightarrow{n}_2 =0$

$\Leftrightarrow -a+x-a+x+a+x=0\Leftrightarrow 3x=a\Leftrightarrow x=\frac{a}{3}$

Bài 107831

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107831

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan