Bài 110841

Question

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $\Delta: \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P): x+y+z-3=0$. Gọi $I$ là giao điểm của $\Delta$ với $(P)$. Tìm tất cả các điểm $M\in (P)$ sao cho $MI$ vuông góc với $\Delta$ và $MI=4\sqrt{14}$

score 0 · Answer 1

Tọa độ $(x;y;z)$ của giao điểm $I$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\begin{cases}\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1} \\ x+y+z-3=0 \end{cases}\Leftrightarrow I=(1;1;1)$
Giả sử $M(x_0;y_0;z_0)\in (P)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài:
Ta có: $\overrightarrow{MI}=(x_0-1;y_0-1;z_0-1).$ Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(1;-2;-1)$
Do $MI\bot \Delta$ $\Leftrightarrow MI\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}\Leftrightarrow x_0-1-2(y_0-1)-(z_0-1)=0\Leftrightarrow x_0-2y_0-z_0+2=0 $
$MI=4\sqrt{14} \Leftrightarrow MI^2=224\Leftrightarrow (x_0-1)^2+(y_0-1)^2+(z_0-1)^2=224$
Vậy ta có hệ phương trình sau để xác định $x_0;y_0;z_0:$
$\begin{cases}x_0+y_0+z_0-3=0 \\ x_0-2y_0-z_0+2=0 \\ (x_0-1)^2+(y+0-1)^2+(z_0-1)^2=224 \end{cases}$
Giải hệ ta có: $ \left[ \begin{array}{l}x _0=5; y_0=9;z_0=-11\\x_0=-3; y_0=-7; z_0=13\end{array} \right.$
Vậy có hai điểm cần tìm : $M_1(5;9;-11) $ và $M_2(-3;-7;13)$.

Bài 110841

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110841

1 Đáp án

Liên quan

Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc

Lý thuyết liên quan