Bài 110841

Question

Cho hai điểm $A(-1;3;-2); B(-9;4;9)$ và mặt phẳng $(P): 2x-y+z+1=0$.
Tìm điểm $K\in (P)$ sao cho $AK+BK$ là nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

Đặt $f(x,y,z)=2x-y+z+1$.
Ta có: $f(-1;3;-2)=-6<0; f(-9;4;9)=-12<0$
$\Rightarrow A,B$ cùng một phía của $(P)$.
Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $(P)$.
Giả sử $A'B\cap (P)=K$. Khi đó dễ thấy $K$ chính là điểm cần tìm.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$.

Đường thẳng đi qua $A,H$ nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-1;1)$ là vectơ chỉ phương, do đó nó có dạng:
$\begin{cases}x=-1+2t \\ y=3-t \\ z=-2+t\end{cases}$
Từ đó $H(-1+2t;3-t;-2+t), $và do $H\in (P)$ nên ta có phương trình
$2(-1+2t)-(3-t)+(-2+t)+1=0$ $\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow H=(1;2;-1)$.
Vì $H$ là trung điểm của $AA' \Rightarrow A'=(3;1;0)$.
Ta có: $\overrightarrow{BA}=(12;-3;-9)// (4;-1;-3)$ nên phương trình $BA'$ có dạng: $\begin{cases}x=3+4t \\ y=1-t \\z=-3t\end{cases}$
Do $K\in (P)$ nên ta có phương trình: $2(3+4t)-(1-t)+(-3t)+1=0\Leftrightarrow t=-1\Leftrightarrow K=(-1;2;3)$.

Bài 110841

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110841

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan