Bài 110437

Question

Cho hình lăng trụ đứng

$ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông

$ABC$ tại

$B$ . Giả sử

$AB=a, AA'=2a, A'C=3a$ . Gọi

$M$ là trung điểm của

$A'C'$ và

$I$ là giao điểm của

$AM$ và

$A'C$ . Tính thể tích tứ diện

$IABC$ .

score 0 · Answer 1

Xét hệ tọa độ

$Bxyz$ gốc

$B$ .
Trong hệ trục tọa độ này ta có:

$B=(0;0;0); A=(0;a;0); C=(2a;0;0)$
(do

$AC^2=A'C'^2-CC'^2=9a^2-4a^2=5a^2\Rightarrow BC=2a$ ).
Do

$A'M=\frac{1}{2}AC\Rightarrow IH=\frac{2}{3}AA'=\frac{4a}{3}$ .
Kẻ

$HN//BC$ và

$HP//AB$ .

$\Rightarrow HN= \frac{1}{3}BC=\frac{2a}{3}; HP=\frac{2}{3}AB=\frac{2a}{3}$

$\Rightarrow I=( \frac{2a}{3};\frac{2a}{3};\frac{4a}{3})$
ta có :

$\overrightarrow{IA}=( -\frac{2a}{3};\frac{a}{3};\frac{-4a}{3});\overrightarrow{IB}=( -\frac{2a}{3};-\frac{2a}{3};-\frac{4a}{3});\overrightarrow{IC}=( \frac{4a}{3};-\frac{2a}{3};-\frac{4a}{3})$
Từ đó:

$[\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\frac{a}{3}}}&{{-\frac{4a}{3}}}\\ {{-\frac{2a}{3}}}&{{-\frac{4a}{3}}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{-\frac{4a}{3}}}&{{-\frac{2a}{3}}}\\ {{-\frac{4a}{3}}}&{{-\frac{2a}{3}}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{-\frac{2a}{3}}}&{{\frac{a}{3}}}\\ {{-\frac{2a}{3}}}&{{-\frac{2a}{3}}} \end{array}} \right|)=(-\frac{4a^2}{3};0;\frac{2a^2}{3})$ .
Vậy

$V_{IABC}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB}].\overrightarrow{IC}|=\frac{1}{6}|-\frac{16a^3}{9}-\frac{8a^3}{9}|=\frac{4a^3}{9}$ (đvtt).

Bài 110437

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110437

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan