Bài 109743

Question

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC),\Delta ABC$ vuông tại $C$ với $AB=2a,\widehat{BAC}=30^0 $.Gọi $M$ là một điểm di động trên cạnh $AC,H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $BM$
$a.$ chứng minh rằng $AH\bot BM$
$b.$ Đặt $AM=x$ với $0\leq x\leq \sqrt{3} $.Tính khoảng cách từ $S$ đến $BM$ theo $a,x$.Tìm các giá trị của $x$ để khoảng cách này có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

score 0 · Answer 1

$a.$ Vì $SA\bot (ABC)$ nên $AH$ là hình chiếu vuông góc của $SH$ trên $(ABC)$ do đó :
$AH\bot BM$ theo định lí ba đường vuông góc
$b.$ Ta thấy ngay khoảng cách từ $S$ đến $BM$ chính là $SH$ và trong $\Delta SAH$ ta có :
$SH^2=SA^2+AH^2       (1)$
Trong $\Delta ABC$ vuông tại $C$ có $\widehat{BAC}=30^0 $ nên :
$BC=\frac{AB}{2} =a$ và $AC=AB.cos\widehat{BAC} =2a.cos30^0=a\sqrt{3} $
Trong $\Delta BCM$ vuông tại $C$ ta có :
$BM^2=BC^2+CM^2=BC^2+(AC-AM)^2$
$=a^2+(a\sqrt{3}-x )^2=x^2-2\sqrt{3} ax+4a^2$
$\Leftrightarrow BM=\sqrt{x^2-2\sqrt{3}ax+4a^2 }   $
Nhận xét rằng $\Delta AMH$ và $CMB$ là hai tam giác vuông có $\widehat{AMH} =\widehat{CMB} $ nên chúng đồng dạng, suy ra :
$\frac{AH}{BC}=\frac{AM}{BM}\Rightarrow AM=\frac{AM.BC}{BM}=\frac{xa}{\sqrt{x^2-2\sqrt{3}ax+4a^2 } }        (2)$
Thay $(2)$ và $SA=2a$ vào $(1)$ ta được :
$SH^2=4a^2+\frac{x^2a^2}{x^2-2\sqrt{3}ax+4a^2 } =\frac{5x^2a^2-8\sqrt{3}a^3x+16a^4 }{x^2-2\sqrt{3}ax+4a^2 } $
$\Leftrightarrow SH=\sqrt{\frac{5x^2a^2-8\sqrt{3}a^3x+16a^4 }{x^2-2\sqrt{3}ax+4a^2 } } $
Từ hệ thức $(1)$ với $SA=2a$ không đổi, ta có nhận xét :
- $SH$ đạt giá trị lớn nhất khi :
$AH_{Max}\Leftrightarrow AM_{Max}\Leftrightarrow M\equiv C\Leftrightarrow x=a\sqrt{3} $
- $SH$ đạt giá trị nhỏ nhất khi :
$AH_{Min}\Leftrightarrow AM_{Min}\Leftrightarrow M\equiv A\Leftrightarrow x=0$

Bài 109743

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109743

1 Đáp án

Liên quan

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Lý thuyết liên quan