a.Ta có tọa độ các điểm $A(a;3a\sqrt{7}-3\sqrt{7}),B(1;0),C(2a-1;0)$.
Từ giả thiết:
$A\in P(I) \Leftrightarrow \begin{cases}a\geq 0 \\ 3a\sqrt{7}-3\sqrt{7} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow a\geq 1$
$p=9 \Leftrightarrow \frac{AB+BC+CA}{2}=9$
$\Leftrightarrow 2.8|a-1|+2|a-1|=18 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=2 \\ a=0 (loại) \end{array} \right. $
Từ đó: $A(2;3\sqrt{7}),B(1;0),C(3;0)$
$\Rightarrow AB=AC=8,BC=2$
b.Ta cần tìm điểm $M\in AB$ (tức là phải tìm $x=BM,0\leq x\leq 8$) sao cho trên cạnh $BC$ tồn tại điểm $N$ thỏa mãn:
$BN=p-x=9-x,0\leq 9-x\leq 2 \Leftrightarrow 7\leq x\leq 9$
$\frac{S_{\triangle BMN}}{S_{\triangle ABC}} =\frac{1}{2}$ (1)
Từ (1) ta được:
$\frac{BM.BN}{AB.BC}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x(9-x)}{8.2}=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow x^{2}-9x+8=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=8\\ x=1(loại) \end{array} \right. $
*Với $x=8 \Rightarrow M \equiv A(2;3\sqrt{7})$ và $N(2;0)$ là trung điểm $BC$