Bài 108892

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 0), B(3; -1; 4) và đường thẳng (d) có phương trình : $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{2} $
Tim điểm M trên (d) sao cho tổng các độ dài MA+MB nhỏ nhất

score 0 · Answer 1

Chuyển phương trình (d) về dạng tham sô:
            $(d): \begin{cases}x=-1+t \\ y=1-t\\z=-2+2t \end{cases} . t\in R$ khi đó, $M \in (d)$ có $M(t-1; 1-t; 2t-2)$
Ta có:
            $MA+MB=\sqrt{(t-2)^2+t^2+(2t-2)^2}+\sqrt{(t-4)^2+(2-t)^2+(2t-6)^2} $
                        $=\sqrt{6t^2-12t+8}+ \sqrt{6t^2-36t+56} $
                        $=\sqrt{6}(\sqrt{(t-1)^2+\frac{1}{3} }+ \sqrt{(t-3)^2+\frac{1}{3} })           (1) $
Xét các điểm $A_o (1; \frac{1}{\sqrt{3}}; 0); B_o(3; -\frac{1}{\sqrt{3}} ; 0)$ và $I_o(t; 0; 0)$, khi đó (1) được viết dưới dạng: $MA+MB=\sqrt{6}(A_oI_o+B_oI_o) $
Từ đó MA+MB nhỏ nhất
         $\Leftrightarrow (A_oI_o+B_oI_o) nhỏ nhất \Leftrightarrow A_o; B_o; I_o$ thẳng hàng
         $\Leftrightarrow \overrightarrow{A_oI_o}//\overrightarrow{B_oI_o} \Leftrightarrow \frac{t-1}{t-3} =\frac{-\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} \Leftrightarrow t=2 \Rightarrow (1; -1; 2)$
Vậy $(MA+MB)_{Min}=4 \sqrt{2} $, đạt được tại M(1; -1; 2)

Bài 108892

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108892

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan