Bài 108419

Question

Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Dựng thiết diện với hình chóp qua $M, $song song với $SA,BC$. Chứng minh thiết diện chia khôi chóp thành hai phần bằng nhau.

score 0 · Answer 1

Kẻ $MN // SA (N \in AB), MQ// BC (Q\in SC)$
Kẻ $NP// BC (P\in AC)\Rightarrow QP //SA $.
Thiết diện là hình bình hành $MNQP$. Dễ thấy $M,N,Q,P$ lần lượt là trung điểm của $SB, AB, AC, SC$
Gọi $V_1$ là thể tích phân hình chóp nằm bên trái thiết diện $MNPQ$.
Từ $M $ kẻ $MR// AB( R\in SA; RS=RA)$.

Ta có: $RMQ.ANP$ là hình lăng trụ và có $V_1=V_{S.RMQ}+S_{RMQ.ANP} (1)$
Giả sử $S=S_{ABC}, h$ là chiều cao của hình chóp $S.ABC$ kẻ từ $ S$ . Khi đó, dễ thấy chiều cao của hình chóp $S.RMP$ và hình lăng trụ $RMP.ANP$ đều bằng $\frac{h}{2}$. Cũng thấy ngay $S_{RMQ}=S_{ANP}=\frac{1}{4}S,$ nên từ $(1)$ có:
$V_1=\frac{1}{3}S_{RMQ}\frac{h}{2}+S_{ANP}\frac{h}{2}=\frac{Sh}{24}+\frac{Sh}{8}=\frac{Sh}{6}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}Sh=\frac{V}{2}$
từ đó $\frac{V_1}{V_2}=1$ tức là thiết diện chia hình chóp thành hai phần bằng nhau.

Bài 108419

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108419

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan