Bài 108307

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a, AD=a\sqrt{2}, SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD, SC$. Giả sử $I$ là giao điểm của $BM$ và $AC$. Tính thể tích tứ diện $ANIB$.

score 0 · Answer 1

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Trong tam giác $SAC$, ta có $NO$ là đường trung bình nên $NO // SA$, tức là $NO \bot (ABCD)$ và $NO=\frac{a}{2}$.

Ta có $V_{ANIB}=V_{N.AIB}=\frac{1}{3}S_{AIB}.NO=\frac{3}{6}.S_{AIB}     (1)$
Ta tính diện tích tam giác $AIB$ :
Xét hình chữ nhật $ABCD$. Do $MA=MD$
       $\Rightarrow MA=\frac{1}{2}BD \Rightarrow AI=\frac{1}{2}IC$
       $\Rightarrow AI=\frac{1}{3}AC \Rightarrow AI^2=\frac{AC^2}{9}=\frac{2a^2+a^2}{9}=\frac{a^2}{3}$
Lại có: $BI=\frac{2}{3}BM\Rightarrow BI^2=\frac{4}{9}BM^2=\frac{4}{9}(a^2+\frac{a^2}{2})=\frac{2a^2}{3}$
Do đó $AI^2+BI^2=a^2=AB^2$, nên $AIB$ là tam giác vuông đỉnh $I$.
Vậy $S_{AIB}=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^2\sqrt{2}}{6} (2)$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta có: $V_{ANIB}=\frac{a^3\sqrt{2}}{36} $ (đvtt).

Bài 108307

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108307

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan