Bài 108046

Question

Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau $Ax$ và $By$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt di động trên $Ax$ và $By$ sao cho $AM:BN=k$, trong đó $k$ là số khác $0$ cho trước. Tìm tập hợp các điểm $I$ thuộc đoạn $MN$ sao cho $IM:IN=k.$

phuongna · Answer 1 · 6/13/2012 4:28:29 PM

* Phần thuận:
Gọi $O$ là một điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $OA:OB=k$.
Từ $O$ ta vẽ hai tia $Ox', Oy'$ sao cho $Ox'\parallel Ax, Oy'\parallel By$. Xét phép chiếu song song theo phương $AB$ lên mp$(Ox', Oy')$
Gọi $M'N'$ lần lượt là hình chiếu của $M$ và $N$,tức là $MM'\parallel AB \parallel NN'$. Gọi $I'$ là giao điểm của $MN$ và $M'N'$. Khi đó ta có:
$\frac{I'M}{I'N}=\frac{M'M}{N'N}=\frac{OA}{OB}=k=\frac{IM}{IN}.    $
Vậy $I$ trùng với $I'$. Trong tam giác $M'ON'$, ta có
$\frac{IM'}{IN'}=k, \frac{OM'}{ON'}=\frac{AM}{BN}=k   $ suy ra $\frac{IM'}{IN'}=\frac{OM'}{ON'}=k. $
Từ đó, $I$ phải nằm trên tia phân giác $Ot$ của góc $x'Oy'$.

* Phần đảo:
Giả sử $I$ là một điểm bất kì thuộc tia phân giác $Ot$ của $x'Oy'$. Gọi $M', N'$ là những điểm lần lượt thuộc tia $Ox'$, tia $Oy'$ sao cho $M', I, N'$ thẳng hàng và $\frac{IM'}{IN'}=k$. Gọi $M$ và $N$ là những điểm thuộc tia $Ax$, tia $By$ sao cho $AM=OM', BN=ON'$. Dễ dàng chứng minh được $MM'\parallel AB \parallel NN'$ và $\frac{M'M}{N'N}=\frac{OA}{OB}=k $   suy ra $I, M, N$ thẳng hàng và $IM:IN=k$.

Kết luận: Tập hợp các điểm $I$ thỏa mãn điều kiện bài toán là tia phân giác $Ot$ của góc $x'Oy'$.

Bài 108046

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108046

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan