Bài 107851

Question

cho $(H) : \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9} =1 ; d:y=kx (k\neq 0)$ $,d$' qua $O$ và vuông góc với $d$
$a.$ Tìm $k$ để $d,d'$ đều cắt $(H)$
$b.$ Tính theo $k$ diện tích hình thoi có $4$ đỉnh là $4$ giao điểm của $d,d'$ với $(H)$
$c.$ Tìm $k$ để diện tích hình thoi nhỏ nhất

score 0 · Answer 1

$a.$ Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(H)$ :
$\frac{x^2}{4} -\frac{k^2x^2}{9} =1\Leftrightarrow (9-4k^2)x^2=36$
Phương trình $d'$ qua $O$ và vuông góc với $d$ là $y=-\frac{1}{k} k$
Phương trình hoành độ giao điểm của $d'$ và $(H)$ :
$\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{9k^2} =1\Leftrightarrow (9k^2-4)x^2=36k^2$
Vậy $d$ và $d'$ đều cắt $(H)$
$\Leftrightarrow \begin{cases}9-4k^2>0 \\ 9k^2-4>0 \end{cases} \Leftrightarrow -\frac{3}{2}<k<-\frac{2}{3} $ và $\frac{2}{3} <k<\frac{3}{2} (*)$
$b.$ Gọi $\left\{ {A} \right\} =d\cap (H)$ thì $x_A^2=\frac{36}{9-4k^2} $ và $y_A=kx_A$
Gọi $\left\{ {C} \right\} =d'\cap (H)$ thì $x_C^2=\frac{36k^2}{9k^2-4} $ và $y_C=-\frac{1}{k}x_C $
Do đó $OA^2=x_A^2+y_A^2=x_A^2+k^2x_A^2=(1+k^2)x_A^2=\frac{36(1+k^2)}{9-4k^2} $
$\Rightarrow OA=\frac{6\sqrt{1+k^2} }{\sqrt{9-4k^2} } $
Ta có : $OC^2=x_C^2+y_C^2=x_C^2+\frac{x_C^2}{k^2}=\frac{k^2+1}{k^2} x_C^2=\frac{36(k^2+1)}{9k^2-4} $
$\Rightarrow OC=\frac{6\sqrt{k^2+1} }{\sqrt{9k^2-4} } $
Diện tích hình thoi $ABCD:$
$S=\frac{1}{2} AB.CD=2OA.OC=\frac{72(1+k^2)}{\sqrt{(9-4k^2)(9k^2-4)} } $
$c.$ Do bất đẳng thức Cô-si, ta có :
$\sqrt{(9-4k^2)(9k^2-4)}\leq \frac{(9-4k^2)+(9k^2-4)}{2} =\frac{5(1+k^2)}{2} $
$\Leftrightarrow \frac{2}{5} \leq \frac{1+k^2}{\sqrt{(9-4k^2)(9k^2-4)} }\Leftrightarrow S \geq \frac{2}{5} .72$
Do đó $S_{min}=\frac{144}{5} \Leftrightarrow 9-4k^2=9k^2-4\Leftrightarrow k=\pm 1$ (thỏa $(*)$)

Bài 107851

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107851

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan