Bài 107181

Question

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng $d_1;d_2$ có phương trình :
$d_1 :kx-y+k=0; $
$d_2 :(1-k^2)x+2ky-(1+k^2)=0$
$a.$ Chứng minh rằng khi $k$ thay đổi, đường thẳng $d_1$ luôn đi qua một điểm cố định
$b.$ Với mỗi giá trị của $k$, hãy xác định giao điểm của $d_1; d_2$
$c.$ Tìm quỹ tích của giao điểm đó khi $k$ thay đổi

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là điểm cố định, $M_0\in d_1\forall k$
$\Leftrightarrow kx_0-y_0+k=0 \forall k$
$\Leftrightarrow k(x_0+1)-y_0=0\forall k (1)$
$(1)$ đúng $\forall k$ khi và chỉ khi $\Leftrightarrow \begin{cases}x_0+1=0 \\ y_0=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_0=-1 \\ y_0=0 \end{cases} $
Vậy đường thẳng $d_1$ luôn đi qua điểm cố định $M_0(-1;0)$
$b.$ Tọa độ giao điểm $d_1; d_2$ là nghiệm của hệ phương trình :
$\begin{cases}kx-y=-k \\ (1-k^2)x+2ky=1+k^2 \end{cases} $
$D=ab'-a'b=2k^2+(1-k^2)=1-k^2$
$D_x=cb'-bc'=1-k^2$
$D_y=ac'-a'c=2k$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{1-k^2}{1+k^2} (x\neq -1) \\ y=\frac{2k}{1+k^2} \end{cases} $
$c.$ Đặt $k=\tan\frac{\alpha}{2} $ ta có : $\begin{cases}x=\cos\alpha \\ y=\sin\alpha \end{cases} (x\neq 1)$
Suy ra $x^2+y^2=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\Leftrightarrow x^2+y^2=1 (2)$
$(2)$ là phương trình đường tròn $x^2+y^2=1$
Vậy quỹ tích của $M$ là đường tròn $(C): x^2+y^2=1$

Bài 107181

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107181

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan