Bài 105652

Question

Cho hàm số:        $y = \frac{{ - {x^2} + x - n}}{{2x + n}}$
Trong đó $n$ là tham số.
1)    Xác định $n$ để đồ thị của hàm số đi qua điểm $(1, -2)$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị $n$ đã tìm được.
2)    Chứng minh rằng loại trừ giá trị đặc biệt của $n$, còn với mọi giá trị khác của $n$, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 10:50:35 AM

$1)$    Đồ thị của hàm số đi qua $(1; -2)$ nên
$ - 2 = - n/\left( {2 + n} \right) \Rightarrow n = - 4$.
Với $n = -4$:
        $y = \frac{{ - {x^2} + x + 4}}{{2x - 4}} = - \frac{1}{2}\left( {x + 1 - \frac{2}{{x - 2}}} \right)$
Hàm số xác định với mọi $x \ne 2$.
Đồ thị hàm số có tiệm cần đứng $x = 2$, tiệm cận xiên $y = - \left( {x + 1} \right)/2$.
Ta có:
$y' = - \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right) < 0,    \forall x \ne 2$

$2)$    Gọi $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ là điểm cố định của hàm số.
Khi đó ta có
      ${y_0} = \frac{{ - x_0^2 + {x_0} - n}}{{2{x_0} + n}},                     \forall x \ne - 2{x_0}$
$\Leftrightarrow {y_0}\left( {2{x_0} + n} \right) = - x_0^2 + {x_0} - n,      \forall x \ne - 2{x_0}$
Đạo hàm $2$ vế theo $n$ ta có:
$\begin{array}{l}
{y_0} = - 1\\
\Rightarrow - 2{x_0} = - x_0^2 + {x_0} \Leftrightarrow {x_0}\left( {{x_0} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 0,{x_0} = 3,
\end{array}$
Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua $2$ điểm cố định là $(0, 1), (3, -1)$ với $\forall n \ne 0; - 6$

Bài 105652

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105652

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan