|
|
$1$. Bạn đọc tự giải
$2$. Hai họ đường cong luôn đi qua một điểm cố định $A$ \( \Leftrightarrow \exists \left( {x,\,y} \right)\) sao cho
\(\left\{ \begin{array}{l}
y = {x^3} + m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 3\tan \alpha ,\,\,\,\forall m\\
y = m{x^2} + 2 - m,\,\,\forall m
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \exists x,\,y\) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)m + \left( {{x^3} - 2x - y + 3\tan \alpha } \right) = 0\\
\left( {{x^2} - 1} \right)m + 2 - y = 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \exists x,\,y\) sao cho
\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\
{x^2} - 1 = 0\\
{x^3} - 2x - y + 3\tan \alpha = 0\\
2 - y = 0
\end{array} \right.\)
Hệ ẩn x, y sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 2\\
- 3 + 3\tan \alpha = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \tan \alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\)
$3$. Với \(\alpha = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\left( {{d_1}} \right)\) có phương trình \(y = {x^3} + m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 3\) \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) có điểm chung cố định là $A(1; 2)$ .
\(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) sẽ tiếp xúc nhau tại điểm \(B \ne A \Leftrightarrow \) Hệ phương trình sau có nghiệm \(x \ne 1\):
\(\left( H \right)\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 3 = m{x^2} + 2 - m\,\,\,\left( 1 \right)\\
3{x^2} + 2mx - 2\left( {m + 1} \right) = 2mx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Ta có \( (1) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 2m - 1} \right) = 0\)
$(2)$ \( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2m - 2 = 0\)
Do đó để $(H)$ có nghiệm \(x \ne 1\), điều kiện cần và đủ là hệ sau phải có nghiệm:
\(\left( {H'} \right)\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} - 2m - 2 = 0\,\,\left( {2'} \right)\\
{x^2} + x - 2m - 1 = 0\,\,\left( {1'} \right)\\
x \ne 1
\end{array} \right.\)
\(\left( {2'} \right) - \left( {1'} \right) \Rightarrow 2{x^2} - x - 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Vì vậy $(H)$ có nghiệm \( \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\) thỏa mãn $(2’)$
\( \Leftrightarrow \frac{3}{4} - 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{5}{8}\)
|
|
|
Đăng bài 27-04-12 11:08 AM
|
|