Bài 105737

Question

Cho hàm số:

$y = {x^3} - mx + m - 2$ ,

$m$ là tham số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

$(C)$ của hàm số khi

$m = 3$ .
2) Dùng đồ thị

$(C)$ , biện luận theo

$k$ số nghiệm của phương trình

${x^3} - 3x - k + 1 = 0$ .
3) Gọi

$(Cm)$ là đồ thị của hàm số đã cho. Chứng minh rằng tiếp tuyến của

$(Cm)$ tại điểm uốn của nó đi qua một điểm cố định khi

$m$ thay đổi

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 3:58:36 PM

$1)$ Khi

$m = 3$ ta có

$y = {x^3} - 3x + 1$ .
Tập xác định:

$R$

$\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 3\\ y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \end{array}$
Bảng biến thiên

$y''$ đổi dấu khi

$x$ qua giá trị

$x = 0$ , do đó ta có điểm uốn

$U(0{\rm{ ; 1)}}$ .
Đồ thị:

$2)$ Phương trình

${x^3} - 3x - k + 1 = 0$ có thể viết thành

${x^3} - 3x + 1 = k$ , nên nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng

$y = k$ . Do đó, theo đồ thị, ta có:

$k < - 1$ hoặc

$k > 3$ : phương trình có 1 nghiệm

$k = - 1$ hoặc

$k = 3$ : phương trình có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép.

$- 1 < k < 3$ : phương trình có 3 nghiệm

$3)$ Ta có

$y' = 3{x^2} - m$ , nên

$y'' = 6x$ . Tọa độ điểm uốn của

$(Cm)$ là

$I(0{\rm{ ; m}} - 2)$ ;

${y_1} = - m$ . Do đó phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại I là

$y = - mx + m - 2$ .
Tọa độ điểm cố định là nghiệm của phương trình

$y = - mx + m - 2,{\rm{ }}\forall {\rm{m}} \Leftrightarrow$ nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} 1 - x = 0\\ y + 2 = 0 \end{array} \right.$ , tức là ta có điểm cố định

$A(1{\rm{ ; - 2)}}$

1 Đáp án