Bài 105737

Question

Cho hàm số: $y = {x^3} - mx + m - 2$, $m$ là tham số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số khi $m = 3$.
2) Dùng đồ thị $(C)$, biện luận theo $k$ số nghiệm của phương trình ${x^3} - 3x - k + 1 = 0$.
3) Gọi $(Cm)$ là đồ thị của hàm số đã cho. Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(Cm)$ tại điểm uốn của nó đi qua một điểm cố định khi $m$ thay đổi

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 3:58:36 PM

$1)$ Khi $m = 3$ ta có $y = {x^3} - 3x + 1$.
Tập xác định: $R$
$\begin{array}{l}
y' = 3{x^2} - 3\\
y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1
\end{array}$
Bảng biến thiên

$y''$ đổi dấu khi $x$ qua giá trị $x = 0$, do đó ta có điểm uốn $U(0{\rm{ ; 1)}}$.
Đồ thị:

$2)$ Phương trình ${x^3} - 3x - k + 1 = 0$ có thể viết thành ${x^3} - 3x + 1 = k$, nên nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng $y = k$. Do đó, theo đồ thị, ta có:
$k < - 1$ hoặc $k > 3$: phương trình có 1 nghiệm
$k = - 1$ hoặc $k = 3$: phương trình có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép.
$ - 1 < k < 3$: phương trình có 3 nghiệm

$3)$ Ta có $y' = 3{x^2} - m$, nên $y'' = 6x$. Tọa độ điểm uốn của $(Cm)$ là $I(0{\rm{ ; m}} - 2)$; ${y_1} = - m$. Do đó phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại I là $y = - mx + m - 2$.
Tọa độ điểm cố định là nghiệm của phương trình $y = - mx + m - 2,{\rm{ }}\forall {\rm{m}} \Leftrightarrow $ nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}
1 - x = 0\\
y + 2 = 0
\end{array} \right.$ , tức là ta có điểm cố định $A(1{\rm{ ; - 2)}}$

Bài 105737

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105737

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan