a) Đường thẳng $AB$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}=(5;-4-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}-7 ) $
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M_0(0;5;3)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{b}=(-1;2;2) $
Ta có: $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ]=(6(1-2\sqrt{2} );-3(1+\sqrt{2} );3(2-\sqrt{2} )), \overrightarrow{BM}_0=(4;-2;5) $
Suy ra $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ].\overrightarrow{BM}_0=-27\sqrt{2}\neq 0 $
Vậy hai đường thẳng $\Delta $ và $AB$ chéo nhau
b) Đường thẳng $\Delta $ có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=5+2t\\z=3+2t \end{array} \right. $
Điểm $M\in \Delta $ nên $M(-t;5+2t;3+2t)$. Gọi $d=AM+BM$ ta có:
$AM=\sqrt{(t-1)^2+(2t+2+3\sqrt{2} )^2+(2t+2-3\sqrt{2} )^2} $
$=\sqrt{9t^2}+48t+45=\sqrt{(3t+3)^2+6^2} $
$BM=\sqrt{(-t+4)^2+(2t-2)^2+(2t-5)^2} $
$=\sqrt{9t^2-36t+45}=\sqrt{(3t-6)^2+3^2} $
Ta được: $d=\sqrt{(3t+3)^2+6^2}+\sqrt{(3t-6)^2+3^2} $
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, ta xét hai vecto:
$\overrightarrow{u}=(3t+3;6), \overrightarrow{v}=(-3t+6;3) $
Ta có: $|\overrightarrow{u}|=\sqrt{(3t+3)^2+6^2} $ và $|\overrightarrow{v} |=\sqrt{(3t-6)^2+3^2} $
Do đó: $d=|\overrightarrow{u} |+|\overrightarrow{v} |$
$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(9;9)\Rightarrow |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} |=9\sqrt{2} $
Mặt khác với hai vecto $\overrightarrow{IA} $ và $\overrightarrow{IA} $ luôn có $|\overrightarrow{u} |+|\overrightarrow{v} |\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} |$
Như vậy ta được: $d\geq 9\sqrt{2} $
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{u} $ và $\overrightarrow{v} $ cùng hướng
$\Leftrightarrow \frac{3t+3}{-3t+6} =\frac{6}{3}\Leftrightarrow t=1 $
Khi $t=1$ thì $M(-1;7;5)$ và $\min(d)=9\sqrt{2} $
Vậy khi $M(-1;7;5)$ thì $\min(AM+BM)=9\sqrt{2} $