Bài 106943

Question

Cho hai đường thẳng $d_1:\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y-4=0\\ y+z-4=0 \end{array} \right. ; d_2:\left\{ \begin{array}{l} x=1+3t\\ y=2+t\\z=-1+2t \end{array} \right. $
a) Chứng minh hai đường thẳng $d_2, d_2$ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1,d_2$
b) Hai điểm $A, B$ cố định trên đường thẳng $d_1$ sao cho $AB=\sqrt{117} $. Khi $C$ di động trên đường thẳng $d_2$, tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích $\Delta ABC$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/5/2012 4:02:48 PM

a) Ta có: $\overrightarrow{n}_1=(2;3;0), \overrightarrow{n}_2=(0;1;1) $
$\Rightarrow VTCP\overrightarrow{u}_{d_1}=\overrightarrow{n}_1 \wedge \overrightarrow{n}_2=(3;-2;2)   $ và $d_1$ qua $M(2;0;4)$
Đường thẳng $d_2$ qua $N(1;2;-1)$ và $VTCP\overrightarrow{u}_{d_2}=(3;1;2) $
Ta có: $\overrightarrow{u}_{d_1} \wedge \overrightarrow{u}_{d_1} =3(-2;0;3)$ và $\overrightarrow{MN}=(-1;2;-5) $
Do đó: $(\overrightarrow{u}_{d_1}\wedge \overrightarrow{u}_{d_1}).\overrightarrow{MN}=-39\neq 0 $
Vậy $d_1,d_2$ chéo nhau
Ta có: $d({d_1},{d_2}) = HK = \frac{{|{\rm{[}}\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} {\rm{,}}\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} {\rm{]}}\overrightarrow {MN} |}}{{|{\rm{[}}\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} {\rm{,}}\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} {\rm{]}}|}} = \sqrt {13} $

b) Ta có: $S=S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}CI.AB $    ($I$ là chân đường vuông góc vẽ từ $C$ đến $d_1$)
$S=\frac{1}{2}CI.\sqrt{117} $
Mà $CI\geq HK=\sqrt{13} $
Do đó: $S=\frac{\sqrt{117} }{2}CI\geq \frac{\sqrt{117} }{2}HK=\frac{\sqrt{117} }{2}.\sqrt{13}=\frac{39}{2}   $
Dấu "= " xảy ra khi $CI$ là đoạn thẳng vuông góc chung của $d_1,d_2$
Vậy $S_{min}=\frac{39}{2} $

Bài 106943

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106943

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan