Bài 106882

Question

Cho hàm số: $y = \frac{1}{3}{x^3} - mx^2 - x + m + 1$
$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $m = 0$
$2.$ Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
$3.$ Chứng minh rằng với mọi $m$, hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định $m$ sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải
$2.$ Với $m = 0$ ta có hàm số: $y = \frac{{{x^3}}}{3} - x + 1\, \Rightarrow y' = {x^2} - 1 \ge - 1$
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến có giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $ x = 0$
Ta có $y(0) = 1.$
Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là: $y = -x + 1.$
$3.$ Với hàm số tổng quát ta có: $y' = {x^2} - 3mx - 1$
Có $\Delta ' = {m^2} + 1 > 0,\,\forall m\, \Rightarrow $phương trình $y’ = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt và $y’$ đối dấu qua hai nghiệm đó $\Leftrightarrow $ Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Chia đa thức $y$ cho $y’$ ta được:
$y = y'\left( {\frac{x}{3} - \frac{m}{3}} \right) - \frac{{2(1 + {m^2})x}}{3} + \frac{{2m + 3}}{3}$
Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại $A({x_1};{y_1});\,B({x_2};{y_2})$. Vì $y'({x_1}) =
0\,\,;\,\,y'({x_2}) = 0$ nên:
$\left\{ \begin{array}{l}
{y_1} = - \frac{{2(1 + {m^2}){x_1}}}{3} + \frac{{2m + 3}}{3}\\
{y_2} = - \frac{{2(1 + {m^2}){x_2}}}{3} + \frac{{2m + 3}}{3}
\end{array} \right.$
${({y_1} - {y_2})^2} = \frac{{4{{\left( {1 + {m^2}} \right)}^2}}}{9}{\left( {{x_1} - {x_2}}
\right)^2}$
Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và điểm cực tiểu là:
$AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} $
Ta lại có: ${\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}$
Áp dụng định lý Viet ta được pt: ${\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 4{m^2} + 4$
Từ đó: $A{B^2} = 4({m^2} + 1).(1+\frac{{4{{\left( {1 + {m^2}} \right)}^2}}}{9})$
$A{B_{\min }} \Leftrightarrow m = 0$
Đáp số: $m = 0 $

Bài 106882

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106882

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan