Bài 106875

Question

Cho đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2} $ và hai mặt phẳng $(P):x+y-2z+5=0; (Q):2x-y+z+2=0$
a) Gọi $A, B$ là hai giao điểm của $d$ với $(P),(Q)$. Tính $AB$
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc $d$, tiếp xúc với $(P),(Q)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/5/2012 11:21:33 AM

a) Phương trình tham số $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=2t\\ y=1+t\\z=-1+2t \end{array} \right. (t\in R)$
Thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$ ta có: $2t+(1+t)-2(-1+2t)+5=0\Leftrightarrow t=8$
Vậy $d$ cắt $(P)$ tại $A(16;9;15)$
Thay vào phương trình mặt phẳng $(Q)$ ta có: $2(2t)-(1+t)-1+2t+2=0\Leftrightarrow t=0$
Vậy $d$ cắt $(Q)$ tại $B(0;1;-1)$. Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-16;-8;-16)\Rightarrow AB=\sqrt{16^2+(-8)^2+16^2}=24 $

b) Vì $I\in d\Rightarrow \exists t_0$ sao cho $I(2t_0;1+t_0;-1+2t_0)$
Do mặt cầu tiếp xúc với $mp(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ nên $d(I,(P))=d(i(Q))=R$
Ta có:
$\begin{array}{l}
d(I,(P)) = d(I,(Q)) \Leftrightarrow \frac{{| - {t_0} + 8|}}{{\sqrt 6 }} = \frac{{|5{t_0}|}}{{\sqrt 6 }}\\
\Leftrightarrow - {t_0} + 8 = \pm 5{t_0} \Leftrightarrow {t_1} = \frac{4}{3}\vee {t_2} = - 2
\end{array}$
Khi $t_1=\frac{4}{3} \Rightarrow I_1=(\frac{8}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3})$ và $R_1=(\frac{|-\frac{4}{3}+8 |}{\sqrt{6} } )=\frac{20}{3\sqrt{6} } $
Khi $t_2=-2 \Rightarrow I_2=(-4;-1;-5 )$ và $R_2=(\frac{|2+8|}{\sqrt{6}})=\frac{10}{\sqrt{6} } $
Vậy có hai mặt cầu cần tìm là: $\left[ \begin{array}{l}
{\left( {x - \frac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{3}} \right)^2} = \frac{{400}}{{54}}\\
{(x + 4)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 5)^2} = \frac{{100}}{6}
\end{array} \right.$

Bài 106875

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106875

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan